基于非线性最小二乘法的太阳影子定位研究毕业论文.docx

一、摘要本文研究的是利用太阳影子随时间变化的顶点坐标数据或照片进行定位的问题。根据地理知识建立数学模型, 研究影长关于多个参数的变化规律, 并运用非线性最小二乘法进行拟合。对已知影长地点的经纬度,进行参数最优估计,求解到可能的地点。首先根据地理知识可知, 太阳下影子长度只由杆长和该地的太阳高度角决定。而太阳高度角由该时刻的太阳赤纬角、时角和太阳的地理纬度决定。所以根据上述几个参数建立了影子长度变化模型。另一方面, 为方便比较建立以旗杆为原点, 正北方向为 y 轴正方向, 正东方向为 x 轴正方向的坐标系。引入太阳方位角概念, 太阳方位角与太阳高度角、太阳赤纬角和当地纬度有关。并根据影子长度变化模型的结果与太阳方位角, 得到备选城市影子顶点坐标。通过题目所给图片影子顶点位置圆心的像素点位置, 获得图片影子顶点坐标。建立了刻画某地一天中影子顶点随时间变化轨迹的数学模型。进而通过比较原始数据与备选城市数据二阶差商比值的方差, 判断其离散程度, 从而得到最有可能是其拍摄未知的城市。模型检验时, 做关于纬度和杆长两个参数的灵敏度分析。考虑将附件中的原始数据影长做± 10% 的变换。二、问题的背景与重述及分析 问题的背景早在 15 世纪时,定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。随着社会和科技的不断发展, 我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域, 对于地球上的精确坐标定位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位, 可利用变化的太阳影子来进行分析,其作为一种直观简便的定位技术,已受到广泛关注。 问题的重述附件1 是 201 6年4月18 日在某地数码相机拍摄的旗杆顶点下午14点42 分开始每隔 3 分钟的影子的位置, 旗杆高约 2米, 垂直地面。请建立数学模型, 确定该拍摄地最可能是昆明、南京、西安、北京或哈尔滨的那个城市? 问题的分析由于问题所给图片中没有出现原本旗杆的位置以及图片比例尺, 所以无法判断具体的影长。故不能采用一般直接比较的方法。所以在通过像素点获得了影子顶点坐标后采用了通过拟合其一阶差分曲线, 比较二阶差分与所给其它城市的影长顶点坐标的二阶差分离散程度的方法。三、模型假设 1. 假设一天中的太阳赤纬角保持不变; 2. 假设大气层对太阳光的折射率保持不变; 3. 假设影子长度和角度与该点的海拔无关; 4. 假设地面平整; 5. 假设杆子长度为严格 2 米(题目中为约为 2米); 6. 仅考虑照片拍摄角度为俯拍; 7. 由于所给题目中未提及所给时间, 所以我们采用了分类讨论的方法, 在第一个模型中假设所给时间为当地准确时间,在第二个模型中假设为当天的北京时间。 h 太阳高度角 rad H 考虑大气折射的太阳高度角 r ad L 旗杆长度 m d 影子长度 m δ太阳赤纬角 rad ST 真太阳时 h MT 平太阳时 h ω太阳时角 r ad N 积日天ψ地理纬度度φ地理经度度 n 大气折射率 AS 太阳方位角度θ日角度 X 1 图片影子顶点位置横坐标 Y 1 图片影子顶点位置纵坐标 X 2 各地点影子定点位置横坐标(旗杆为原点) Y 2 各地点影子定点位置纵坐标(旗杆为原点) 影子长度变化模型 影子长度[1] 图一:影子长度变化模型本图即为太阳位置,旗杆高度与影长关系的模拟图。图中旗杆高为 h ,影长为 L ,太阳高度角为 H 。根据图中所示关系,可以得到数学模型表达式: (1) 太阳时角太阳时角, 是指日面中心的时角, 即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离。[2] 单位时间地球自转的角度定义为时角ω,规定正午时角为 0 ,上午时角为负值, 下午时角为正值。对于平太阳时来说, 地球自转一周 360 度, 对应的时间为 24 小时, 即每小时相应的时角为 15度,每4 分钟的时角为 1 度。因为地球自转周期不为准确的 24 小时,所以为保证时角的准确性,采用修正过的真太阳时。(时差表见附录一) 2016 年4月 18 日平太阳时转换为真太阳时的计算公式为(模型一): ST= MT +1’6”(2) 2016 年4月 18 日平太阳时转换为真太阳时的计算公式为(模型二): ST= MT -4*( 120 -φ)+1’6”(2) 时角的计算公式为:ω=( ST- 12)* 15(3) 日角日角是决定太阳赤纬的一个因素,其计算公式为: 太阳赤纬太阳赤纬,是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角。赤纬角以年为周期, 在+23 ° 26′与-23 ° 26′的范围内移动,成为季节的标志。[ 3] 太阳赤纬的计算公式为:(4) 其中, 4月 18 日时, N= 10