三角函数函数的周期性.docx

三角函数•函数的周期性
教学目标
1 ．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角
函数的周期性．
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．
3．培养学生根据定义进展推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论
． 如果能够
确定最小正周期，可使研究的围缩小在最小正周期的围. 这无疑给我们研究周期 函数的性质带来方便.
〔教师在函数的周期性定义下板书〕
如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期.
例4证明f〔x〕二sinx〔xCR〕的最小正周期是27t.
师：例1证明了 y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期 T=2冗,例
2我们证明T -，不是y - - sitiz的最小正周期
，只要证明什么？
生：只要证明任何比2冗小的正数都不是它的周期.
师：如何证？能否逐一证明比2冗小的正数都不行呢？ ？
生：〔0, 2冗〕使得y= 出矛盾即可.
师：你能具体的给予证明吗？
生：假设T是丫二$访乂，xCR的最小正周期，且0<T<2冗，那么根据周期函 数的定义，当x为任意值时都有
sin〔x+T〕=sinx.
令代入上式得，
sia C —l-T) = sin — = 1, 22
即cosT=1
这与T C〔0, 2冗〕时，cosT< y=sinx, xCR的最 小正周期是2
冗.
师：请同学们在课堂练****本上证明 y=cosx的最小正周期是2冗.
师：通过上面的例题和练****我们得出这样的结论，正弦函数 y=sinx〔xCR〕 和余弦函数y=cosx〔xCR〕都是周期函数，2水〔kC Z且kw。〕都是它的周期， 最小正周期是2冗.
例5求y=3cosx的周期.
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2冗,所以y=3cosx的周期也是2冗.
师：，也就是新知识归结到旧知识上 ？
生：可以从数和形两个角度来证明.
解〔一〕因为对一切xCR, 3cos〔x+2冗〕=3cosx,所以y=3cosx的周期是
解〔二〕 因为 y=3cosx 图象是把 y=cosx 图象上的每点的横坐标不变，纵坐
标扩大3倍得到的，当自变量x〔xC R〕增加到x+2冗且必须增力□至Ux+2九时，函
数 cosx 的值才重复出现，因而函数3cosx 的值也才重复出现，因此y=3cosx 的周
期是2冗.
师： 数和形是我们研究数学问题的两个方面， 他都想到了， 并且能完整的表
达清楚，假设把此题推广，能得到什么结论？
生：y=Asinx, y=Acosx〔Aw0,是常数〕白周期都是2冗，也就是说函数周 期的变化与系数A 无关．
例 6 求 y=sin2x 的周期．
〔请不同解法的三位同学在黑板上板演〕
生甲：
解 因为y=sin〔2x+ 2 tt ]=sin2x,=sin2x的周 期是2冗.
生乙：
解 因为y= sin〔2x+ 2几〕=sin2〔x+兀〕=sin2x,所以y= sin2x的周期是冗.
生丁：
解 设2x= u,因为y= sinu的周期是2冗，所以
y=sin〔u+2冗〕=sinu,
sin 〔2x+2 几〕=sin2 〔x+ 冗〕=sin2x,
所以y=sin2x的周期是冗.
师：，错误在对于周期函
数定义中任意x都有f〔x+T〕二f〔x〕的本质没弄清楚，要证明y=sin2x是周期 函数，应证明对于任意 x€ R,都有y=sin2x=sin2〔x+T〕，而不是y=sin2x=sin
〔2x+T〕.解法〔二〕，〔三〕〔三〕经过换元，把
要研究的新问题y= sin2x的周期转化为已有的旧知识y= 的意识、换元的思想是很重要的.
师： = sinx的
图象得到y= =sinx的图象上的每点的纵坐标
不变，横坐标是该点横坐标的，
当自变量每增加2冗且必须增加2九时，函数值重复出现，现在就是当
自变量每增加2, 2n二兀，旦必须增加几时函数值重复出现，所以广 UI
sin2x的周期是冗.
师：通过这个例题我们看到，谁对函数的周期有影响？ 的影响？带着这个问题同学们做下面的题目.