三角函数 函数的周期性.docx

教学目标
使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性.
使学生掌握简单三角函数的周期的求法.
培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力.
教学重点与难点
函数周期性的概念数的定义，当x为任意值时都有sin（x+T）=sinx.
即cosT=1.
这与TC（0,2兀）时，cosT<=sinx,x€R的最小正周期是2兀.
师：请同学们在课堂练****本上证明y=cosx的最小正周期是2兀.
帅：通过上面的例题和练****我们得出这样的结论，正弦函数y=sinx（x€R）和余弦函数y=cosx（x€R）都是周期函数,2兀k（k€Z且k丰0）都是它的周期，最小正周期是2兀.
例5求y=3cosx的周期.
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2兀，所以y=3cosx的周期也是2兀.
帅：，
生：可以从数和形两个角度来证明.
解（一）因为对一切x€R,3cos（x+2兀）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2Tt.
解（二）因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵坐标扩大3倍得到的，当自变量x（x€R）增加到x+2兀且必须增加到x+2：t时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2兀.
帅：数和形是我们研究数学问题的两个方面，他都想到了，并且能完整的叙述活楚，若把此题推广，能得到什么结论
生：y=Asinx,y=Acosx（A^0,是常数）的周期都是2兀，也就是说函数周期的变化与系数A无关.
例6求y=sin2x的周期.
（请不同解法的三位同学在黑板上板演）
生甲：
解因为y=sin（2x+2兀）=sin2x，对于任意x€=sin2x的周期是2兀.
生乙：
解因为y=sin（2x+2兀）=sin2（x+兀）=sin2x，所以y=sin2x的周期是Tt.
生丁：
解设2x=u,因为y=sinu的周期是2兀，所以y=sin（u+2兀）=sinu,
即sin（2x+2兀）=sin2（x+兀）=sin2x,
所以y=sin2x的周期是兀.
帅：，错误在对于周期函数定义中任意x都有f（x+T）=f（x）的本质没弄活楚，要证明y=sin2x是周期函数，应证明对于任意x€R,都有y=sin2x=sin2（x+T）,而不是y=sin2x=sin（2x+T）.解法（二）,（三）（三）经过换元，把要研究的新问题y=sin2x的周期转化为已有的旧知识y=、换元的思想是很重要的.
帅：=sinx的图象得到y==sinx的图象上的每点的纵坐标
当自变量每增加2兀且必须增加2兀时，函数值重复出现，现在就是当
sin2x的周期是兀.
帅：通过这个例题我们看到，.
例7y=2sin（u+2兀）=2