三角函数 函数的周期性.docx

三角函数•函数的周期性
教学目标
使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角 函数的周期性.
使学生掌握简单三角函数的周期的求法.
培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论 证能力.
教学 够确定最小正周期， 研究周期函数的性质带来方便.
(老师在函数的周期性定义下板书)
如果在所有的周期中存在着一个最小正周期，就把它叫做最小正周期.
例4 证明f (x) =sinx (x € R的最小正周期是2兀.
师：例1证明了 y=sinx是周期函数，并且找到了一个周期 T=
2我们证明T = ? 二皿的最小正周期 ■—<
，只要证明什么？
生：只要证明任何比2兀小的正数都不是它的周期.
帅：如何证？能否逐一证明比2兀小的正数都不行呢？ 2 ？
生： (0, 2兀)使得y=sinx对丁任意的x€ 出矛盾即可.
帅：你能具体的给予证明吗？
生：假设T是y=sinx , x € R的最小正周期，且0<Tv2兀，那么根据周期 函数的定义，当x为任意值时都有
sin (x+T) =sinx .
令寂=3，代入上式得,
sin （；+T） =sin? = L
即 cosT=1.
这与TC （0, 2兀）时，cosT< y=sinx , x € R的最 小正周期是2兀.
师：请同学们在课堂练****本上证明 y=cosx的最小正周期是2兀.
帅：通过上面的例题和练****我们得出这样的结论,正弦函数 y=sinx （x € R） 和余弦函数y=cosx （x € R）都是周期函数，2兀k （k€ Z且k丰0）都是它的周期， 最小正周期是2兀.
例5 求y=3cosx的周期.
师：以后求周期如果没有特殊要求，都求的是最小正周期
生：因为y=cosx的周期是2兀，所以y=3cosx的周期也是2兀.
帅：，也就是新知识归结到旧知识上 ？
生：可以从数和形两个角度来证明.
解（一） 因为对一切 x € R, 3cos （x+2 兀）=3cosx，所以 y=3cosx 的周 期是2 Tt .
解（二） 因为y=3cosx图象是把y=cosx图象上的每点的横坐标不变，纵 坐标扩大3倍得到的，当自变量x （x€ R）增加到x+2兀且必须增加到x+2兀时， 函数cosx的值才重复出现，因而函数 3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx 的周期是2兀.
帅：数和形是我们研究数学问题的两个方面， 他都想到了，并且能完整的叙
述活楚，若把此题推广，能得到什么结论？
生：y=Asinx , y=Acosx （A圭0,是常数）的周期都是2兀，也就是说函数周 期的变化与系数A无关.
例6 求y=sin2x的周期.
（请不同解法的三位同学在黑板上板演）
生甲：
解 因为y=sin （2x+2兀）=sin2x，对丁任意x € =sin2x 的周期是2兀.
生乙：
解 因为 y = sin （2x +