线性代数期末考试试题.ppt

§ 正定二次型第五章相似矩阵及二次型****题课§ 预备知识: 向量的内积§ 方阵的特征值与特征向量§ 相似矩阵§ 实对称矩阵的相似矩阵§ 二次型及其标准形§ 配方法化二次型为标准形§ 预备知识: 向量的内积一、向量内积的定义及性质一、向量内积的定义及性质在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设 x, y 为两向量, 则它们的数量积为:x·y = | x || y | cos ?.设向量 x, y 的坐标表示式为 x=(x 1, x 2, x 3 ), y=(y 1, y 2, y 3 ), 则x·y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 .,|| 23 22 21xxxx???.| || || os yx yx???由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念: 定义 1:设有 n维向量,, 2 12 1?????????????????????? nny y yyx x xx??[x, y]=x 1 y 1 + x 2 y 2 + ··· + x ny n, 称[x, y]为向量 x 与 y (n?4)维向量的内积是 3维向量数量积的推广, 但是没有 2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: [x, y] = x T y. 我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:记内积的运算性质设x, y, z为n维向量, ?为实数, 则(1) [ x, y]=[y, x ]; (2) [ ?x, y]=?[x, y ]; (3) [ x+ y , z]=[x, z] + [ y, z ]; (4) [ x, x]?0, 当且仅当 x =0 时有[x, x] =0. 二、向量的长度及性质二、向量的长度及性质称||x ||为n维向量 x的长度(或范数).,],[ || || 2 22 21nxxxxxx??????定义:令向量的长度具有下述性质: (1) 非负性: ||x || ?0, 当且仅当 x =0 时有||x ||=0; (2) 齐次性: || ?x ||=|?| ||x ||; (3) 三角不等式: || x+ y ||?|| x ||+ || y ||. ).0(,1 ],[ ],, ][,[],[ 2时当从而有不等式向量的内积满足施瓦茨???yxyx yx yyxxyx 证明:令 tyx????????? 0,,2, ][][],[ 2???????xxtyxtyy tyx tyx??|| || || || ],[ cos yx yx??,2 2623 18???.4 ???|| || || || ],[ os yx yx??单位向量及 n 维向量间的夹角(1) 当||x ||=1 时, 称x为单位向量. (2) 当||x ||?0, ||y ||?0 时, 称为 n维向量 x 与 y 的夹角, 规定 0 ????. 例1:求向量?=(1, 2, 2, 3) 与?=(3, 1, 5, 1) 的夹角解:[x, y ]=1 ?3 +2 ?1 +2 ?5 +3 ? 1=18, ,18 3221 || || 2222?????x,36 1513 || || 2222?????y 所以故, 向量 x与 y 的夹角为: 三、正交向量组的概念及求法三、正交向量组的概念及求法 1. 正交的概念 2. 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组. 当[x, y ]=0 时, 称向量 x 与 y , 若x =0, 则x与任何向量都正交. 3. 正交向量组的性质定理 1:若向量组? 1, ? 2, ···, ? r 是n维正交向量组, 则? 1, ? 2, ···, ? r :方法一:设有数? 1, ? 2, ··· ,? r, 使得:? 1? 1 + ? 2? 2 + ··· + ? r? r = 0,00 21111???????? 1?? 2??? r???同理可得.,,, 21 线性无关故 r????得左乘上式两端以, 1a T0 111???? T 方法二:由于? 1, ? 2, ···, ? r 是两两正交的非零向量组, 当i? j 时, [? i, ? j ]=? i T? j =0, 当i= j 时, [? i, ? i ]=? i T? i ?0, 则有用? i T ( i =1, 2, ···, r)左乘上式得,? 1? i T? 1 + ? 2? i T? 2 +