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线性代数期末考试试题

一、(32分)填空(2分16)
1、设四阶行列式的展开式中有一项,此项前面应带的符号为;又设三阶行列式,其第二行元素的代数余子式之和= 。
2、当= 时,矩阵的秩=2,此时若令矩阵=,则的列向量组的一个极大无关组为。
3、设为四阶方阵,且=2,则= ,= ,(其中为矩阵的伴随矩阵)。
4、设,,则== ,= 。
5、阶矩阵为可逆矩阵的充要条件是的列向量组线性关;又为正交矩阵的充要条件是的行向量组是向量组。
6、= ,= 。
7、设二阶矩阵,矩阵,则矩阵的对角标准形为,= 。
8、为三阶实对称矩阵,且,不可逆,=1,则的三个特征值为;以为系数矩阵的二次型的规范形为。
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二、(21分)计算(要求写出计算过程)(6分+7分+8分)
1、计算四阶行列式:
2、设矩阵与满足(其中为矩阵的伴随矩阵),化简此矩阵方程并求矩阵。
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3、设,,为线性方程组的三个解,
求:此方程组的导出组的一个基础解系,使它构成一个标准正交向量组。
三、(13分)设线性方程组,
求:当取何值时,方程组有解;有解时求出方程组的通解。
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四、(14分)设二次型
写出此二次型的系数矩阵。
2、正交变换下,此二次型化为标准形,求该正交变换。
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五、(10分)设矩阵
若能与对角形矩阵相似,则,应满足什么条件,并说明理由。
若能正交相似于对角形矩阵,则,应满足什么条件。(只需写出结果)
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六、(10分)证明题(5分+5分)
1、已知、均为5×3矩阵,证明:矩阵不是可逆矩阵。
2、设为n阶实对称矩阵,且,求::矩阵并说明理由。