大数定律.doc

连续随机变量具有相同的概率密度函数,有着相同的分布函数,相同的均值、方差、与标准差。
克罗内克引理
设是实数的一个序列,是一个且的一个数列,则

证明:
对于,令.
如果再记,,则我们有

阿贝尔变换为
,
于是有
, ,






因为递增有,
所以有
且,而是一个有界数,不妨设
.
引理证毕.
现假设是上的一个正值连续偶函数,使得当增加时,有
(1) ,
,在这里我们不必考虑它是怎么来的,只要知道它的性质即可,它的性质可以用下面的关系表示:


设是一个独立随机变量序列,且对于每个,;又.
如果满足条件(1)且满足
(2) ,
则
(3) 几乎处处收敛.
证明:用表示的分布函数,对于每个定义:
(4)
则. 相当于()
根据(1)中的第二个假设,我们有
对于.
由此有

()

.
于是,对于随机变量,(ⅲ)收敛,而对于A=2其他两个级数等于零,因为; 因此
(5) 几乎处处收敛.
其次我们有
=
,
此处由()由(1)中的第一个假设
对于有
由此有
即几乎处处收敛的,又因为(5)式也是几乎处处收敛的,
所以也几乎处处收敛,最后,由我们可以得到


,所以也几乎处处收敛。
对于一个概率为1的集中的每一个,将克罗内克引理应用于(3),我们得到
推论: ,我们有
. (定理的证明加上引理的证明)
特殊情况:(ⅰ)设;,则
(7)

设是一个独立同分布的随机变量序列,则我们有
(8)
(9)
证明:证(8),像(4)定义{Y}序列如下

:,当且仅当这个级数收敛时,.
所以
故{X}与{Y}是等价序列,取,我们有
(10) .
因为只假定了一阶矩的存在,我们需要用一阶矩的存在估计上式右端的二阶矩,用分割区间然后颠倒累次求和,具体步骤如下:
=



在上面我们已经应用了估计式,其中C是某个常数,.于是
收敛,应用(7)于{},我们得出结论:
.
显然当时,因为{X}独立同分布,所以
故我们也有,
因而
由{X}与{Y}等价,,即
证明了(8).
证明(9):

因为随机变量独立同分布,故有
:如果事件{X}是独立的,则
可得
而蕴含着或者故有

这意味着对于每个A,存在一个零集Z(A),使得如果,则
(a) .
设则