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任务1:创建一个模型,提供一个衡量一个地区提供清洁水的能力,以满足人口的需求。你可能需要考虑在建模过程中影响供需的因素的动态特性的因素。
多元线性回归模型
(一)多元线性回归模型的概念
在许多实际问题重中,我们所研究的因变量的变动可能不只与一个解释变量有关。因此,有必要考虑线性模型的更一般形式,即多元线性回归模型:

在这个模型中,由所解释,有个未知参数。这里,“斜率”的含义是其他变量不变的情况下,改变一个单位对因变量所产生的影响。
回到一般模型:

即对于n组观测值,有


其矩阵形式为:
其中

(二)多元线性回归模型的估计
多元线性回归模型的估计与双变量线性模型类似,仍采用最小二乘法。当然,计算要复杂得多,通常要借助计算机。理论推导需借助矩阵代数。下面给出最小二乘法应用于多元线性回归模型的假设条件、估计结果及所得到的估计量的性质。
假设条件
,;
,;
,;
是非随机量,;.
除上面4条外,在多个解释变量的情况下,还有两个条件需要满足:
(5),即观测值的数目要大于带估计的参数的个数(要有足够数量的数据来拟合回归线)。
(6)各解释变量之间不存在严格的线性关系。
上述假设条件可用矩阵表示为以下四个条件:
(1)
(2),事实上,由于
显然,成立当且仅当(),()
这两个条件都成立。因此,此条件相当于前面条件(2)、(3)两条,即各期扰动项互不相关,并具有常数方差。
(3)是一个非随机元素矩阵。
(4)Rank(),相当于前面(5)、(6)两条即矩阵的秩,当然,为了后面区间估计和假设检验的需要,还要加上一条:
(5).

我们的模型是:,,问题是选择,使得残差平方和最小。而残差为:
要使残差平方和
为最小,则应有:
, ,…,
我们得到如下个方程(即正规方程):
……
按矩阵形式,上述方程组可表示为:

即.
上述结果,亦可从矩阵表示的模型出发,完全用矩阵代数推导出来。残差可用矩阵表示为:
,其中.
残差平方和


注意到上式中所有项都是标量,且
,
故
.
令,用矩阵微分法,我们可得到,与采用标量式推导所得结果相同。由上述结果,我们有
.
任务2:利用联合国水资源稀缺地图 选一个水资源严重或中度用量大的国家或地区。解释为什么在那个地区,水是稀缺的。确保通过解决物理性和/或经济性短缺来解释社会和环境驱动因素。
(三)多元线性拟合
由2000—2009年北京农业用水,生活用水,工业用水,人口数量,降水量,地表水,地下水,再生水,8个影响因子的数据。如下表1:
年份
农业用水(亿立方米)
生活用水(亿立方米)
工业用水(亿立方米)
人口数量(万人)
降水量(毫米)
地表水(亿立方米)
地下水(亿立方米)
再生水(万吨)
2005



1538

7

12813
2006



1581



10170
2007



1633
318


9134
2008
12


1695



8867
2009







8713
及2005——2009年水资源总量、总用水量数据,如下表2:
2005
2006
2007
2008
2009
水资源总量(亿立方米)





总用水量
(亿立方米)





以以上8个因素为自变量,以北京市“总用水量”和“水资源总量”的差Y作为因变量,建立一个多元线性回归模型。
由表2得到因变量y的转置数组:
由表1得到自变量的8个数组:

将矩阵进行转置得到:
增添一组常数项,
将转置得到:

由模型,用矩阵微分法得到,则,所以通过matlab进行矩阵运算得到
即得到多元拟合线性方程
.
(四)一元线性拟合回归
将如表1所示的8个因子数据组成的是个向量组x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,与因变量y的一元线性拟合,得到以上8个因子与缺水量的一元线性关系。
因为8个因子的单位各不相同,所以统一将各个自变量的进行归一化
式中、分别表示为同因素下最大值和最小值。从而得到8个行向量如下:
再由matlab程序:得到9个因素与因变量y缺水量的一元线性关系,得到