高考函数知识点总结.doc

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(一)知识梳理

设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则
注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。

(1)函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
(3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则
:图象法、列表法、解析法
(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
(二)考点分析
考点1:映射的概念
例1.(1),,;
(2),,;
(3),,.
上述三个对应是到的映射.
,,,则到的映射有个,到的映射有个,到的函数有个
,,如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数,则映射的个数是()
8个12个16个18个
答案:1.(2);,64,81;3.
考点2:判断两函数是否为同一个函数
?
(1),;
(2),
(3),(n∈N*);
(4),;
(5),
[答案](1)、(2)、(4)不是;(3)、(5)是同一函数
考点3:求函数解析式
方法总结:(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),则用待定系数法;
(2)若已知复合函数的解析式,则可用换元法或配凑法;
(3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出
题型1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式
,求(三种方法)
例2.(09湖北改编)已知=,则的解析式可取为
题型2:求抽象函数解析式
,求
考点4:求函数的定义域
题型1:求有解析式的函数的定义域
(1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围,实际操作时要注意:①分母不能为0;②对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为非负数;④零指数幂中,底数不等于0;⑤负分数指数幂中,底数应大于0;⑥若解析式由几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦如果涉及实际问题,还应使得实际问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。
例1.(08年湖北)函数的定义域为()
A.;B.;C.;D.
答案:
题型2:求复合函数和抽象函数的定义域
例1.(2007·湖北)设,则的定义域为()
A.;B.;C.;D.
答案:B.
,求的定义域
,求函数的定义域
(-2,0),求的定义域(-3<x<-1)
考点5:求函数的值域
求值域的几种常用方法
(1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,
如求函数,可变为解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,
如函数就是利用函数和的值域来求。
(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域,因为
(5)利用基本不等式求值域:如求函数的值域
(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数的值域
(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(-48)
(9)对勾函数法像y=x+,(m>0)的函数,m<0就是单调函数了
三种模型:(1)如,求(1)单调区间(2)x的范围[3,5],求值域(3)x[-1,0)(0,4],求值域
(2)如,求(1)[3,7]上的值域(2)单调递增区间(x0或x4)
(3)如,(1)求[-1,1]上的值域(2)求单调递增区间
函数的单调性
(一)知识梳理
1、函数的单调性定义:
设函数的定义域为,区间,如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函数,称为的单调增区间;如果对于区间内的任意两个值,,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函数,称为的单调减区间。
如果用导数的语言来,那就是:设函数,如果在某区间上,那么为区间上的增函数;如果在某区间上,那么为区间上的减函数;
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法:
(1)①定义法(取值――作差――变形――定号);②导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,
(2)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为.
(3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减
(4)若与在定义域内都是增函数(减函数),那么在其公共定义域内是增函数(减函数)。
3、单调性的说明:
(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域;
(2)函数单调性定义中的,有三个特征:一是任意性;二是大小,即;三是同属于一个单调区间,三者缺一不可;
(3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数分别在和内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的,只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大(小)值
设函数的定义域为,如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称为的最大值;如果存在定值,使得对于任意,有恒成立,那么称
为的最小值。
(二)考点分析
考点1函数的单调性
题型1:讨论函数的单调性
例1.(1)求函数的单调区间;
(2)已知若试确定的单调区间和单调性.
解:(1)单调增区间为:单调减区间为,
(2),,
令,得或,令,或
∴单调增区间为;单调减区间为.
(x)=在定义域上的单调性.
解:函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f(x)=,
可分解成两个简单函数.
f(x)==x2-≥1时,u(x)为增函数,为增函数.
∴f(x)=在[1,+∞)≤-1时,u(x)为减函数,为减函数,
∴f(x)=在(-∞,-1]上为减函数.
题型2:研究抽象函数的单调性
,对定义域内的任意都有,且当时,
(1)求证:是偶函数;(2)在上是增函数;(3)解不等式.
解:(1)令,得,∴,令,得∴,
∴,∴是偶函数.
(2)设,则
∵,∴,∴,即,∴
∴在上是增函数.
(3),∴,
∵是偶函数∴不等式可化为,
又∵函数在上是增函数,∴,解得:,
即不等式的解集为.
题型3:函数的单调性的应用
(-∞,4]上是减函数,那么实数的取值范围是______(答:));
,则实数的取值范围_____(答:);
考点2函数的值域(最值)的求法
求最值的方法:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)。(4)导数法:当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变化范围。
题型1:求分式函数的最值
例1.(2007上海)已知函数当时,求函数的最小值。
[解析]当时,
,。在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
题型2:利用函数的最值求参数的取值范围
例2.(2008广东)已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
[解析]在区间上恒成立;在区间上恒成立;在区间上恒成立;函数在区间上的最小值为3,即
函数的奇偶性
(一)知识梳理
1、函数的奇偶性的定义:①对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,。②对于函数的定义域内任意一个,都有〔或〕,。
③,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)
:
(1)可以利用奇偶函数的定义判断
(2)利用定义的等价形式,,()
(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称
:
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)若奇函数定义域中含有0,。
(3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设是定义域为R的任一函数,,。
(4)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.
(5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.
(二)考点分析
考点1判断函数的奇偶性及其应用
题型1:判断有解析式的函数的奇偶性
:
(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·;
(3);(4)
题型2:证明抽象函数的奇偶性
例1.(09年山东)定义在区间上的函数f(x)满足:对任意的,(x)为奇函数;
[解析]令x=y=0,则f(0)+f(0)=∴f(0)=0
令x∈(-1,1)∴-x∈(-1,1)∴f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0
∴f(-x)=-f(x)∴f(x)在(-1,1)上为奇函数
例2.(1)函数,,若对于任意实数,都有,求证:为奇函数。
(2)设函数定义在上,证明是偶函数,是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
,若,求实数的取值范围。
[解析]是定义在上奇函数对任意有
由条件得=
是定义在上减函数,解得
实数的取值范围是
,都有,且时,
(1)求证是奇函数;
(2)试问当时,是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说出理由。
(x)是定义在R上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求a的取值范围,并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.
[解析]设0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,
∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1),
∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0,+∞)内单调递减.
由f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得:2a2+a+1>3a2-2a+,得0<a<3.
又a2-3a+1=(a-)2-.
∴函数y=()的单调减区间是
结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为[,3).
函数的周期性
(一)知识梳理
:对于函数,如果存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期。

(1)若图像有两条对称轴,则必是周期函数,且一周期为;
(2)若图像有两个对称中心,则是周期函数,且一周期为;
(3)如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴,则函数必是周期函数,且一周期为;
(4)①若f(x+a)=f(x+b)则T=|b-a|;②函数满足,则是周期为2的周期函数;
③若恒成立,则;④若恒成立,则.
(二)考点分析
考点2函数的周期性
,对任意实数有成立
(1)证明:是周期函数,并指出周期;
(2)若,求的值
考点2函数奇偶性、周期性的综合应用
例1.(09年江苏题改编)定义在上的偶函数满足对于恒成立,且,则________。
[解析]由得到,从而得,可见是以4为周期的函数,从而
,又由已知等式得
又由是上的偶函数得又在已知等式中令得,即所以
,且满足
(1)求证:是周期函数;
(2)若为奇函数,且当时,,求使在上的所有的个数。

(一)知识梳理
:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴,顶点坐标
(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在上单调递减,在上单调递增,时,;
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在上单调递增,在上单调递减,时,。
(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
。
:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c(a>0),