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文档介绍
第一章引言
自从Zadeh提出模糊二元关系的概念以来,模糊关系已被用于模糊数学各理论及应用领域,如聚类分析,模糊量排序,模糊选择函数等. 在模糊决策中,模糊关系常被用于描述两个备择对象的模糊偏好,形成了模糊偏好结构理论. 1992年,Fodor提出了模糊偏好结构的公理化定义. 1995年,De Baets等提出了不同的模糊偏好结构的定义,该定义是公理化定义在严格偏好关系非对称情况下的一个特例. 1997年,De Baets等又提出了可加的-模糊偏好结构的定义,该定义要求对于,成立,其中无区别关系I自反、对称,不可比关系J非自反、对称,P是严格偏好,是上的自同构. 从目前的研究来看,该结构具有良好的性质,所以许多讨论均基于该结构之上. 除一般讨论之外,还有许多文章讨论特殊的模糊偏好结构,如全序结构,弱序结构,半序结构,区间序结构等. 在这些偏好结构中,,在无不可比关系及为左连续的条件下,De Baets等提出了T-区间序的定义,并主要讨论了弱及强模糊两种区间序结构;2003年,Bufardi在De Morgan三元组情况下时,给出了T-S-区间序及严格T-S-区间序的定义. 但是不论哪种偏好结构的定义,在其讨论过程中都要涉及大偏好或严格偏好的T-S-Ferrers性质,可以说T-S-Ferrers性质对于研究区间序结构起着至关重要的作用.
我们知道,一个关系是否满足一个性质是完全确定的,但是,在模糊情况下,一个关系往往很难满足某一个性质. 例如,设Q是A上的一个模糊关系,T,S分别是t-模及t-余模,若对于,有,则称Q满足T-S-Ferrers性质. 然而有时,存在, 使得不等式不成立,但是不等式两边差的绝对值
却很小. 在这种情况下,自然想到用指标来度量满足T-S-Ferrers性质的程度. 事实上,一些作者已经提出一些性质的指标用来表达模糊关系满足该性质的程度. 如,Bĕlohlávek提出了自反、非自反、T-非对称和T-传递等的程度的指标. escu提出了S-完全和S-强完全程度的指标. 之后,王,曹等又提出了的T-S-Ferrers性质,S-负传递等指标并对它们之间的关系进行了深入研究.
我们注意到,,对于偏好(序)结构而言,同样可以定义一个指标以衡量任意一个结构满足某个偏好结构的程度. 所以本文旨在偏好结构的程度(指标)化方面做一些初步的研究工作. 鉴于区间序的重要性,我们选择区间序结构的程度化展开讨论. 为此,我们在王,曹等对T-S-Ferrers性质指标的研究的基础上得到了T-S- Ferrers性质指标的等价形式,讨论了自反、T-S-Ferrers性质指标与S-强完全指标的关系以及大偏好与严格偏好的T-S-Ferrers性质指标之间关系等. 然后,我们定义了一个区间序指标以度量一个偏好结构满足区间序的程度,讨论该指标的性质以及区间序指标与T-S-Ferrers性质指标之间的关系. 最后,我们在无零因子情况下讨论了区间序指标的等价形式,同时对相近指标进行了类似的讨论.
本文其余各节组织方式如下,第二节主要介绍了本文所涉及的基本定义以及要用到的一些结果;第三节先讨论了可加的-模糊偏好结构和T-S-Ferrers性质指标的一些性质,然后给出了区间序指标的定义,并给出了T-S-Ferrers性质指标和区间序指标之间关系. 最后讨论了区间序指标的等价形式,同时对相近指标进行了类似的讨论.
第二章预备知识
、余模、非、模糊蕴涵等模糊逻辑联结运算以及De Morgan三元组;在第二节给出普通关系的有关性质,并介绍一些第三章用到的命题.
设,若单调减且满足,则称是一个模糊非,,:,则称为强非.
设是严格增的连续函数,若其满足:,
,则称为上的自同构.
(强非表现定理) 为强非当且仅当存在上的自同构,使得: .
其中称为n的生成元,记生成元生成的强非为.
若一个映射,满足下列条件:
对称性:;
单调性:;
结合律:;
边界条件:.
则称T是一个t-模.
例如,取小t-模:;乘积t-模:;Lukasiewicz-模:.
设是一个-模,是单位区间上的自同构,则定义:
,.
则也是一个-模,称为的变换. 例如,Lukasiewicz-模的变换,
.
若对于任意,,则称T无零因子. 例如:取小t-模,乘积t-模均为无零因子-模.
对于一个t-模T及任意,令,易证是一个
自从Zadeh提出模糊二元关系的概念以来,模糊关系已被用于模糊数学各理论及应用领域,如聚类分析,模糊量排序,模糊选择函数等. 在模糊决策中,模糊关系常被用于描述两个备择对象的模糊偏好,形成了模糊偏好结构理论. 1992年,Fodor提出了模糊偏好结构的公理化定义. 1995年,De Baets等提出了不同的模糊偏好结构的定义,该定义是公理化定义在严格偏好关系非对称情况下的一个特例. 1997年,De Baets等又提出了可加的-模糊偏好结构的定义,该定义要求对于,成立,其中无区别关系I自反、对称,不可比关系J非自反、对称,P是严格偏好,是上的自同构. 从目前的研究来看,该结构具有良好的性质,所以许多讨论均基于该结构之上. 除一般讨论之外,还有许多文章讨论特殊的模糊偏好结构,如全序结构,弱序结构,半序结构,区间序结构等. 在这些偏好结构中,,在无不可比关系及为左连续的条件下,De Baets等提出了T-区间序的定义,并主要讨论了弱及强模糊两种区间序结构;2003年,Bufardi在De Morgan三元组情况下时,给出了T-S-区间序及严格T-S-区间序的定义. 但是不论哪种偏好结构的定义,在其讨论过程中都要涉及大偏好或严格偏好的T-S-Ferrers性质,可以说T-S-Ferrers性质对于研究区间序结构起着至关重要的作用.
我们知道,一个关系是否满足一个性质是完全确定的,但是,在模糊情况下,一个关系往往很难满足某一个性质. 例如,设Q是A上的一个模糊关系,T,S分别是t-模及t-余模,若对于,有,则称Q满足T-S-Ferrers性质. 然而有时,存在, 使得不等式不成立,但是不等式两边差的绝对值
却很小. 在这种情况下,自然想到用指标来度量满足T-S-Ferrers性质的程度. 事实上,一些作者已经提出一些性质的指标用来表达模糊关系满足该性质的程度. 如,Bĕlohlávek提出了自反、非自反、T-非对称和T-传递等的程度的指标. escu提出了S-完全和S-强完全程度的指标. 之后,王,曹等又提出了的T-S-Ferrers性质,S-负传递等指标并对它们之间的关系进行了深入研究.
我们注意到,,对于偏好(序)结构而言,同样可以定义一个指标以衡量任意一个结构满足某个偏好结构的程度. 所以本文旨在偏好结构的程度(指标)化方面做一些初步的研究工作. 鉴于区间序的重要性,我们选择区间序结构的程度化展开讨论. 为此,我们在王,曹等对T-S-Ferrers性质指标的研究的基础上得到了T-S- Ferrers性质指标的等价形式,讨论了自反、T-S-Ferrers性质指标与S-强完全指标的关系以及大偏好与严格偏好的T-S-Ferrers性质指标之间关系等. 然后,我们定义了一个区间序指标以度量一个偏好结构满足区间序的程度,讨论该指标的性质以及区间序指标与T-S-Ferrers性质指标之间的关系. 最后,我们在无零因子情况下讨论了区间序指标的等价形式,同时对相近指标进行了类似的讨论.
本文其余各节组织方式如下,第二节主要介绍了本文所涉及的基本定义以及要用到的一些结果;第三节先讨论了可加的-模糊偏好结构和T-S-Ferrers性质指标的一些性质,然后给出了区间序指标的定义,并给出了T-S-Ferrers性质指标和区间序指标之间关系. 最后讨论了区间序指标的等价形式,同时对相近指标进行了类似的讨论.
第二章预备知识
、余模、非、模糊蕴涵等模糊逻辑联结运算以及De Morgan三元组;在第二节给出普通关系的有关性质,并介绍一些第三章用到的命题.
设,若单调减且满足,则称是一个模糊非,,:,则称为强非.
设是严格增的连续函数,若其满足:,
,则称为上的自同构.
(强非表现定理) 为强非当且仅当存在上的自同构,使得: .
其中称为n的生成元,记生成元生成的强非为.
若一个映射,满足下列条件:
对称性:;
单调性:;
结合律:;
边界条件:.
则称T是一个t-模.
例如,取小t-模:;乘积t-模:;Lukasiewicz-模:.
设是一个-模,是单位区间上的自同构,则定义:
,.
则也是一个-模,称为的变换. 例如,Lukasiewicz-模的变换,
.
若对于任意,,则称T无零因子. 例如:取小t-模,乘积t-模均为无零因子-模.
对于一个t-模T及任意,令,易证是一个
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