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刚体力学第七章
第七章刚体力学
一章节小结
(一)刚体运动的描述
:内部质点没有相对运动,即物体的形状和大小不变。
刚体的运动:平动+转动
:刚体上的任一条直线在各时刻的位置始终保持平行的运动。
其特点:刚体上的各质点的位移、速度、加速度都相等。所以任一质点的运动都可代表整体的平动。通常用质心来代表。
:刚体上的各个点都饶同一直线(转轴)作圆周运动的运动。
其特点:刚体上的各个点具有相同的角速度。
角速度矢量:大小方向: 沿转轴和刚体的转动方向成右手螺旋关系。
角加速度: 线速度和角速度的关系:
(二)刚体定轴转动的描述
1定义:刚体转动的轴固定不动时叫刚体定轴转动。
2角坐标:规定自轴逆时针转为正。 3运动方程:
4角位移:
5角速度: 规定:逆时针转;顺时针转。
角速度和转数的关系:
6角加速度:
7由求: ; 由求:
匀加速转动: ; ;
8线量和角量的关系: ; ;
(三) 刚体的动量和质心定理
刚体的动量: 或
刚体的质心定理: 其中:外力的矢量和; :质心的加速度。
(四) 刚体对一定轴的转动惯量
1定义式: 或
2平行轴定理:
3垂直轴定理: (适用于平行xy平面的薄板)
(五) 刚体定轴转动的动力学
1刚体定轴转动的角动量:
2刚体定轴转动的冲量矩: ;
3刚体定轴转动的角动量定理:
4刚体定轴转动的转动定理:
(六) 刚体定轴转动的功和能
1力矩的功: 2刚体定轴转动的动能:
3刚体定轴转动的动能定理: 外=
4刚体的重心坐标: ; ;
5刚体的重力势能: 其中:重心的高度
(七) 质点运动规律和刚体定轴转动运动规律的比较



质点运动规律

刚体定轴转动运动规律

速度

角速度


加速度

角加速度


质量

转动惯量


力

力矩


运动定律

转动定律


动量

动量


角动量

角动量


动量定理

角动量定理


动量守恒
时常量
角动量守恒
时常量

力的功

力矩的功


动能

转动动能


动能定理

动能定理


重力势能

重力势能


机械能守恒
只有保守力做功时
常量
机械能守恒
只有保守力做功时
常量


二****题分类及解题方法
(一)、转动定律的应甩
这类****题多见于含有绕定轴转动的刚体并悬有可视为质点的物体,求绳子所受张力及物体的加速度,或巳知其它一些量求转动惯量等。
解题思路
1 应用隔离体法,分别对绕定轴转动的刚体及作平动的物体进行受力分析;
2 选择参考正方向;
3 对刚体引出转动定律表达式,对质点列出牛顿第二定律表达式,再加上线量与角量的关系
式,组成如下格式的方程组
a 转动定律表达式(绕定轴转动的刚体)
b 牛顿第二定律表达式(作平动的物体一质点)
c 线量与角量关系式
4 检查方程个数与未知量个数是否相同,如相同,解之!即可达题求。
例题5—1 如图5-1所示,迭状圆柱形滑瓶,可绕其光滑水平对称轴00/转动,设大小圆柱的半径分别为R和r,质量分别为M和m,绕在两柱体上的细绳(细绳质量忽略)分别与物体和物体相连, 和挂在圆柱体的两侧(设)求:(1)滑轮转动时的角加速度;(2)两侧细绳的张力

解应用隔出体法分别对绕定轴转动的刚体—迭状滑轮及作平动的物体、进行受力分析,得受力分析图,如图5—2所示。图中为参考正方向。
对于迭状滑轮,转动定律为
(5—1)
前为正号,是因为力对转轴的力矩使滑轮沿参考正方向转动; 前的负号,是因为力对转轴的力矩使滑轮的转向与参考正方向相反。是整个迭状圆柱体滑轮的转动惯量,它是小圆柱体的转动惯量和大圆柱体转动惯量之和,即(5-2)
由于、是一对作用、反作用力,所以有交接条件
(5-3)
对于,牛顿第二定律为
(5-4)
对于,牛顿第二定律为
(5-5)
(5-1)式中为迭状滑轮的角加速度, (5一4)、(5—5)式中的、分别为、,的平动加速度。由于滑轮与绳手间没有滑动,所以滑轮边缘的切向加速度就等于所悬绳子的加速度。又由绳子不可伸长,因此绳子的加速度就等于物体的加速度,这样又有以下的交接条件: (5-6)
式中分别为处的切向加速度。
线量与角量的关系为: (5-7)
式中,等式右边取正号,是由于所选的转动参考正方向