高中复数知识点及相关练习.docx

复数
复数基础知识
一、复数的基本概念
(1)形如a + bi的数叫做复数(其中);复数的单位为i,它的平方等于-1,,b叫做虚部
实数:当b = 0时复数a + bi为实数
虚数:当时的复数a + bi为虚数;
纯虚数:当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数
(2)两个复数相等的定义:
(3)共轭复数:的共轭记作;
(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;,对应点坐标为
(5)复数的模:对于复数,把叫做复数z的模;
二、复数的基本运算
设,
加法:;
减法:;
乘法: 特别。
(4)幂运算:
三、复数的化简
(是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:
对于,当时z为实数;当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解
一、知识梳理
1、复数的有关概念
(1)复数的概念:形如的数叫做复数,其中分别是它的。若,则为实数,若,则为虚数,若,则为纯虚数。
(2)复数相等: 。
(3)共轭复数:与共轭。
(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,轴叫做,轴叫做。实轴上的点都表示;除原点外,虚轴上的点都表示;各象限内的点都表示。
(5)复数的模:向量的模叫做复数的模,记作: ,即。
一一对应
2、复数的几何意义
一一对应
(1)复数复平面上的点。
(2)复数复平面上的向量。
3、复数的运算
(1)复数的四则运算
设,,则
①加法: ;
②减法: ;
③乘法: = ;
④除法: = = ()。
(注:分母实数化)
(2)复数的运算定律:
; ;
; ;
= ; ;= 。
4、几个重要的结论
(1);
(2);
(3)若z为虚数,则。
复数最重要的一点就是:记住
例1:已知,求
当为何值时z为实数
当为何值时z为纯虚数
当为何值时z为虚数
当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
例2:已知;,求当为何值时
例3:已知,求,;
变式:1是虚数单位,等于( )
B.-i D.-1
变式2:已知是虚数单位, ( )
A B C D.
变式3:已知是虚数单位,复数= ( )
ABCD
变式4:已知i是虚数单位,复数( )
(A)1+i (B)5+5i (C)-5-5i (D)-1-i
变式5:已知是虚数单位,则( )
(A) (B)1 (C) (D)
变式6:已知=2+i,则复数z=()
(A)-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
变式7:i是虚数单位,若,则乘积的值是
(A)-15 (B)-3 (C)3 (D)15
真题实战:
1.(2005)若,其中a、b∈R,i是虚数单位,则=( )
C.
2.(2005)已知向量则x= .
3.(2007)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=
A.-2 B. C.
4.(2008)已知,复数(是虚数单位),则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.(2009)下列n的取值中,使=1(i是虚数单位)的是
A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
6.(2011)设复数z满足iz=1,其中i为虚数单位,则
A.-i C.-1
7.(2012)设i为虚数单位,则复数=( )
C.-5 D.-6
8.(2013)若,,则复数的模是

二、例题分析
类型一:复数的有关概念及复数的几何意义
【例1】当实数为何值时,
(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内。
类型二:复数相等
【例2】已知集合,集合同时满足,求整数的值。
【例3】已知为共轭复数,且,求。
练****已知复数的共轭复数为,且满足,求。
类型三:复数的代数运算
【例4】计算:(1); (2); (3);
(4)。
类型四:复数加减法的几何意义
【例5】如图,平行四边形,顶点分别表示,试求:
(1)、表示的复数;(2)对角线所表示的复数。
练****若为复数,且,求的最大值。
类型五:复数综合
【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数。
(1);(2)的实部和虚部都是整数。
练****已知虚数使得和都为实数,求。
三、巩固提高
1、的值是( )
A i B -i C 1 D –1
2、当时,的值是( )
A 1 B -1 C i D –i
3、等于( )
A 0 B 1 C -1 D i
4、设、、、,若为实数,则( )
(A) (B) (