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几何:
2、设MN是圆O外一直线,过O作OA⊥MN于A,自A引圆的两条直线,交圆于B、C
及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、
E
求证:AP=AQ.(初二)
O
·
C
BD
MN
PAQ
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN
于P、
求证:AP=AQ.(初二)C
A
Q
M·N
P
·
OB
D
4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交
于B、:AB=DC,BC=AD.(初三)
A
BOD
P
E
F
C
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且∠PBA=∠PDA.
求证:∠PAB=∠PCB.(初二)
AD
P
BC
:.
4、如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB=800,D、E分别是AB、AC上的点,∠ADCA=
300,∠EBA=200,求∠BED的度数.
E
D
BC
1.∠ABC的顶点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O相交,过BA与圆的交点K引∠ABC
平分线的垂线,交⊙O于P,交BC于M。
求证:线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。
△ABC中,AP为∠A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP于
H,AM的
延长线交
BH于Q,:.
求证:PQ∥AB。
、F、G、H,在EF与GH上分别作
⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。
求证:MQ∥NP。
,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、
N分别作BD、AC的垂线交于K。求证:KP⊥AB。
:.
△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作
BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证:AM⊥BC。
6.△ABC
内接于
⊙O,P是弧AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,
AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。
,两外公切线PP、QQ
121212
分别切两圆于P、P、Q、Q,M、M分别为PQ、PQ的中点。求证:
1212121122
∠OAO=∠MAM。
1212:.
,已知∠BAC=90º,AD⊥BC,∠1=∠2,EF⊥BC,FM⊥AC,说明FM=FD
的理由
,已知△ABD和△ACE是直角三角形,∠ABD=∠ACE=90°,∠BAD=∠CAE,
连接DE,点M为DE边中点,求证:BM=CM。
,已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,点M为EC边中点,求证:△BMD
为等腰直角三角形。
:.
,在平行四边形ABCD内有一点E满足ED⊥AD于D,∠EBC=∠EDC,∠ECB
=45º,
请在图中找出与BE相等的一条线段,并予以证明.
,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,
EF
BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,:tanPAD.
BC
20以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN,BN和CM交于一点P。
试判断:∠APM、∠APN的大小关系,并加以证明。
:.
1、已知:如图,⊙O和⊙O两个等圆,过O、O的中点M的直线交圆O于点A、点B,
12121
交⊙O于点C、点D。求证:AB=CD
2
2、已知:如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,点D在BC的延长线连结A、D
交⊙O于点E。求证:AB·CE=AE·CD。
3、已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,DC的延长线与AB的延长
线相交于点E,如果AC=CE,求证:AD=BE。
5、已知:如图,AB是⊙O的直径,E是AB延长线上一点,过E作⊙O的切线ED,切
点为C,AD⊥ED交ED于点D,交⊙O于点F,CG⊥AB交AB于点G。求证:
BG·AG=DF·DA。
6、如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是⊙O的直径,DE⊥AC于E,DE的延长线与
CB的延长线相交于F。求证:CD2=CB·CF。
:.
7、已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BF
于点F,B为切点。求证(1)BD平分∠CBF;(2)AB·BF=AF·CD。
、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、
CD于E、F,交CB的延长线于点O,
求证:OM2OEOF
G
O
E
AB
M
DFC
解答图
4、.在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,M是CD的中点,若AMDBMD,
求证:CDA2ACD。
C
M
AB
D
AC2BC
,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线AD交BC边于D,求证:.
AD22BD
:.
【例1】(2007年北师大附中试题)如图,ABC中,ADBC于D,BEAC于E,
DFAB于F,交BE于G,FD、AC的延长线交于点H,求证:DF2FGFH.
A
F
E
G
BC
D
H
【巩固】(河南省初三数学竞赛题)如图,RtABC中,C90,点D在AC上,BDAD,
M是AB的中点,AEAC于E,点P是ME的中点,连接DP。求证:BEDP。
CC
DD
E
PP
BAB
MM
【巩固】(2001青岛市中考题)已知,如图正方形DEFG内接于RtABC,EF在斜边BC
上,EHAB于H。求证:(1)ADG≌HED;(2)EF2BEFC。
A
DG
H
BC
EF为E,ADBD,过E的直线EF∥AB交AD于F.
⑴AFBE,
⑵AF2AEEC.
23.(1)如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠ABD=60°,∠BCD=120°,证明:
BC+DC=AC.
(1)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,P为四边形ABCDD内一点,C
且∠APD=120°,证明:PA+PD+PC≥BD.(江苏省竞赛题)
FE
AB:.
,△ABC中,∠ABC=1000,∠ACB的平分线交AB于E,在AC上取一点D,
使∠CBD=200,∠CED的度数.
,P是△ABC的∠BAC的外角平分线上一点.
(1)求证:PB+PC>AB+AC;
(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、
AC间又有怎样的不等关系?
如图,△ABC和△ABC均为正三角形,:AA⊥CC.
ll11111
(重庆市竞赛题)
,正方形ABCD中,M为AD中点,以M为顶点作∠BMN=∠MBC,MN交CD
于N,求证:DN=2NC.
,△ABC中,∠ACB=2∠ABC,求证:AB2=AC2+AC×BC.
:.
,AB是等腰直角三角形的斜边,若点M在边AC上,点N在边BC上,沿直线
MN将△MCN翻折,使点C落在AB上,设其落点为点P.
PACM
(1)当点P是边AB的中点时,求证:;
PBCN
PACM
(2)当点P不是边AB的中点时,是否仍然成立?请证明你的结论.
PBCN
(2001年北京市宣武区中考题)
ABCDEFBCDEFA
,若,求证:.(武汉市选拔赛试题)
UVVWWUXYYZZX
【例1】已知:如图,ABC、CDE、EHK都是等边三角形,且A、D、K共线,
AD:HBD也是等边三角形.
E
C
B
AK
D
H
16、如图9,△ABC中,∠A=2∠B,由顶点C作∠A的平分线AD的垂
线CF,垂足为F,求证:CF经过△ABC的外心。
:.
初中数学竞赛培训讲义
第十三讲相似三角形
相似三角形的性质是几何证明的重要工具,是证明线段和差问题、相等问题、比例问
题、角相等问题的重要方法,本讲即探究该问题.
一竞赛知识回顾
1、相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例,对应角相等,对应边上的中线,角平分线,高线,周长
之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
2、相似三角形的判定方法
(1)三边对应成比例的两个三角形相似
(2)两边对应成比例,夹角相等的两个三角形相似
(3)两组角对应相等的两个三角形相似.
3、相似三角形中几个的基本图形
4、由相似三角形得到的几个常用定理
定理1平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似.
ADAEDEA
如图,若DE∥BC,则,E
D
ABACBC
ADBDE

AECE
定理2平行切割定理
CC
B
B
如图,D,E分别是ABC的边AB,AC上的点,A
过点A的直线交DE,BC于M,N,若DE∥MN,
M
DE
DMBN
则
MENCC
BN
定理3(平行线分线段成比例定理)两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例.
如图,若l∥l∥l,则A
A/A
123A/
ll
11
ABBCAC
,B/
B/
ABBCACll
B22
B
l
CC3l
/A
AD,AEC/C3
定理4(角平分线性质定理)如图,分别是
ABC的内角平分线与外角平分线,
E
C
D
B:.
DBEBAB
则.
DCECAC
定理5射影定理
直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形,这两个三角形与原三角形相似.
定理1角平分线的的性质定理
二赛题讲解
1利用相似证明角相等
例1如图,ABC中,BAC90,ABAC,D是边的中点,AHBD,垂
A
足为H,交BC于点E.
(1)求证:ADBCDE
D
AB2CDEH
(2)若,求的面积.
C
E
B
A
练****在ABC中,ADBC于点D,DEAB于点E,
DFAC于点F,求证:AFEABC.
E
F
C
D
B
2利用相似证明线段相等
例2已知点E,F分别在矩形ABCD的边AB,AD上,EF∥BD,EC,FC分别交
DC
BD于点G,H,求证:BGDH.
H
E
G
AFB
练****1、如图,梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC,BD交于点P,过点P作BC
AD
的平行线分别交AB,DC于点E,F,求证PEPF.
EF
P
C
B:.
2、如图,ABC中,ABAC,ADBC于D,E,G分别是AD,AC的中点,
DFBE于F,求证:
E
G
F
BDC
3证明比例(等积)线段
例3如图,BD,CD为的两条角平分线,过点D作直线分别交AB,AC于点E,F,
A
若AEAF,求证:EF24BECF
ED
F
C
B
例4如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,直线l平行于BD,且与
AB,DCBC,AD及AC的延长线分别交于点M,N,R,S和P,
A
求证:PMPNPRPS
OD
B
C
S
PR
MN
练****br/>1、如图,在ABC中,AD是A的平分线,AD的垂直平分线交AD于点E,交BC
A
:FD2FBFC
E
F
DC
B
A
2、AD,BE是ABC的高线,过D作AB的垂线,
F
FBEACM,NE
垂足为,与及的延长线分别相交于,
M
C
求证:DF2FMFND
B
N
:.
AC2BC
3、AD是RtABC的角平分线,C90,求证:
AD22BD
A
DB
C
4求线段比
A
D
例5ABCD是正方形,E,F是AB,BC的中点,
E
联接EC交DB,DF于G,H,求EG:GH:
H
BFC
ABCDADBC,ABC90AD
练****1、梯形中,∥,
AD3BDP
对角线ACBD于点P,若,求的值.
BC4AC
BC
2、如图,在平行四边形ABCD中,过点B的直线顺次与AC,AD及CD的延长线相
E,F,GBE5,EF2,FGG
交于点,若求的长.
F
AD
E
5证明线段(线段比)和差
C
B
例6如图,已知AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点,过G的直线
依次交AB,AD,CD,CE于点M,N,P,:.MNPQ2PN
E
Q
P
CD
G
N
F
B
A
:.
练****如图,P是ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于点D,E,F,
AEAFAPA
求证:.
ECFBPD
E
F
P
C
D
B
6证明垂直
例7如图,H,Q分别是正方形ABCD的边AB,AC上的点,且BHBQ,过B作
AD
HC的垂线,垂足分别为P,求证:DPPQ.
P
H
BQC
练****题
1、如图,ABC中,BAC90,AD是BC边上的高,E是BC边上一点,过
点E作AB,AC的垂线,垂足分别为F,G,求证:FDG90
A
FG
DEC
2、ABC与ABC均为等边三角形,BC和BC的中点均为BD,求证:AACC
1111
A
B1A
1
BDC
C
1
7证明平行
例8如图,在矩形ABCD中,E、F是DC边上的点,满足DEEFFC,又
G、H是BC上的点,满足BGGH,AF与DH相交
于N.
AB
G
H
K
N
DEFC:.
求证:KN∥CD.
练****题如图,两个等边ABC,ADE顶点A重合,过点E作BC的平行线,分别交
AB,CD于F,
(1)求证:DF平分AFE.
B
(2)求证:AG∥BD.
F
D
G
CA
8利用相似三角形的面积比
例9在ABC的内部取点P,过P点作3条分别与ABC的三边平行的直线,这
A
样所得的3个三角形t,t,t的面积分别为4,9,49,求ABC的面积.
123
FI
tt
12E
D
P
t
3C
G
H
BA
AB2BD
练****1、AD是RtABC斜边上的高,求证:
AC2DC
DC
B
2、梯形ABCD中AD∥BC,AD4,BC8,点E,F在AB,DC上,且EF∥BC,
AE
若直线EF平分梯形ABCD的面积,(1)求EF的长,(2)求的值
EB
A
D
EF
C
B
:.
练****题
1、已知平行四边形ABCD中,M,N为AB的三等分点,DM,DN分别交AC于P,Q
A
两点,求BP:PQ:
PQ
NC
BM
1
2、如图,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AFFD,FE交AC于
2
DC
1
点G,求证:AGAC
5
F
G
EB
A
3、如图,AM是的中线,P是AM上一点,BP,CP分别交AC,AB于点D,E,
A
求证:DE∥BC
ED
P
C
M
B
4、ABC中,ABAC,BAC90,D是BC边的中点,AHBD交BD于
A
点H,交BC于点E,求证:BE2EC
D
H
C
E
B
5、在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,P为对角线AC延长线上任意
一点,PF交AD于点M,PE交BC于点N,:K是线段MN的
中点.
D
FP
C
M
K
N
EB
A:.
6、锐角三角形ABC中,ABAC,CD,BE分别是AB,AC上的高,DE与BC的
延长线交于点T,过D作的BC垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明:
A
F,G,T三点共线.
D
E
F
GT
NC
M
B
7、如图,在等边ABC中,BC边上取点D,使BD:CD1:2,作CHAD,
垂足为H,联接BH,求证:BADHBC.
A
H
BDC