常微分方程数值解法.ppt

第九章常微分方程数值解法
/*Numerical Method for Ordinary Differential Equations*/
本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
初值问题及其数值解的概念
§1 引言
常用的一些解析解法:
常数变易法、Lapalace变换等
分离变量法、变量代换、
一阶常微分方程初值问题:
对于初值问题,如果在下列区域内连续:
(解的存在唯一性)
且关于满足Lipschitz条件,即存在常数,使
则初值问题存在唯一解,且解是连续可微的。
所谓数值解是指:在解的存在区间上取一系列点
逐个求出的近似值
等距节点:
步长
初值问题的解析解及其数值解的几何意义:
初值问题的解表示过点的一条曲线
初值问题的数值解表示一组离散点列
可用拟合方法求该组数据的近似曲线
积分曲线
§2 Euler方法
Euler方法的导出
将在点处进行Taylor展开
略去项:
然后用代替,即得
称上述公式为向前Euler 公式。
若将在点处进行Taylor展开
略去项:
然后用代替,即得
称上述公式为向后Euler 公式。
向后Euler 公式为隐式格式,需要利用迭代法求解
解:
向前Euler公式:
例1:分别利用向前和向后Euler
方法求解初值问题的数值
解(取步长为)
向后Euler公式:
。
常微分方程数值解法的稳定性
设一个数值方法以定步长求解实验方程
得到线性差分方程的解。当时,若,
则称该方法对步长为绝对稳定的;否则称为不稳定的。
将数值方法应用于实验方程,若对一切
都是绝对稳定的,则称区域为该方法的绝对稳定域。
上述定义表明,若数值方法可使任何一步产生的误差
在后面的计算中都能逐步削弱,则该方法为绝对稳定。
例如,对于向前Euler法:
将其应用于实验方程
当时,误差将逐步减弱,故此时方法稳定。
向前Euler法绝对稳定域:
当因有误差变为时,则有
单步方法的局部误差和阶
单步法的一般形式
隐式单步法
通常称为增量函数
显式单步法
设是准确的,用某种方法计算时产生的截
称为某方法在点的整体截断误差
断误差,称为该方法的局部截断误差,即