数学建模减肥模型.ppt

差分方程模型
差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的,也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示(变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等)概念和记号、几何形式(事物形状、过程轨迹、坐标系统等),也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然,由于差分方程的特殊性,首先应当把系统或过程进行特别分解,形成表现整个系统的各个部分的离散取值形
式,或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析,找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律,从而得到差分方程。另外,有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系,这实际上建立的是离散向量方程,它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分,分别求解。下面我们就来看一个具体的例子。
减肥计划——节食与运动
您的体重正常吗?不妨用联合国世界卫生组织颁布的所谓体重指数(简记为BMI)衡量一下,BMI定义为体重(单位:kg)除于身高(单位:m)的平方,,大于25为超重,超过30则为肥胖。据悉,我国有关机构针对东方人的特点,拟将上述规定中的25改为24,30改为29。
在国人初步过上小康生活以后,不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明,多数减肥食品达不到减肥的目标,或者即使能减肥一时,也难以维持下去。许多医生和专家的意见是,只有通
过控制饮食和适当的运动,才能在不伤害身体的条件下,达到减轻体重并维持下去的目的。本节要建立一个简单的体重变化规律的模型,并由此通过节食与运动制订合理、有效的减肥计划。
模型分析通常,当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量,转化为脂肪等,导致体重增加;又由于代谢和运动消耗热量,引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。
减肥计划应以不伤害身体为前提,这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然,增加运动量是加速减肥的有效手段,也要在模型中加以考虑。
通常,制订减肥计划以周为时间单位比较方便,所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。
模型假设根据上述分析,参考有关生理数据,作出以下简化假设:
1。体重增加正比于吸收的热量,平均每8000kcal增加体重1kg(kcal为非国际单位制单位1kcal=);
2。正常代谢引起的体重减少正比于体重,每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间,且因人而异,这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至3200kcal;
3。运动引起的体重减少正比于比重,且与运动形式有关;
4。为了安全与健康,,每周吸收热量不要少于10000kcal。
基本模型记第k周末体重为w(k),第k周吸收热量为c(k),热量转换系数=1/8000(kg/kcal),代谢消耗系数(因人而异),则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为
(1)
增加运动时只需将改为由运动的形式和时间决定。
减肥计划的提出通过制订一个具体的减肥计划讨论模型(1)的应用。
,体重100公斤,。自述目前每周吸收20000kcal热量,体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥计划,使其体重减至75公斤
并维持下去:
1) 在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划,第一阶段:每周减肥1公斤,每周吸收热量逐渐减少,直至达到安全的下限(1000kcal);第二阶段:每周吸收热量保持下限。
2)若要加快进程,第二阶段增加运动,重新安排第二阶段计划。
3)给出达到目标后维持体重的方案。
减肥计划的制订
1)首先应确定某甲的代谢系数。根据他每周吸收c=20000kcal热量,体重w=100kg不变,由(1)式可得
相当于每周每公斤体重消耗热量200kcal。从假设2可以知道,某甲属于代谢相当弱的人。他又吃得那么多,难怪如此之胖。
第一阶段要求体重每周减少b=1kg,吸收热量减至下限, 即
w(k)-w(k+1)=b, w(k)=w(0)-bk
由基本模型(1)式可得
将的数值代入,并考虑下限,有
得,即第一阶段共10周,按照
(2)
吸收热量,可使体重每周减少1公斤,至第10周末体重达到90公斤。
第二阶段要求每周吸收热量保持下限,由基本模型(1)式可得:
为了得到体重减至75公斤所需的周数,将(3)式递推可得