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关于斜抛运动的最大射程
关于抛出点和落地点在同一水平面上的斜抛运动的最大射程问题,已经被众多的读者所熟知,也就是:当抛出角为45°时,水平射程最大,为。但对抛出点和落地点不在同一水平面上的斜抛运动来说,抛出角满足什么条件时,水平射程最远?最远为多少?下面就以上两个问题与读者一起进行探讨。
如下图所示,设斜抛物体的初速度为,抛出点与落地点的水平高度差为H,令当斜抛运动的初速度与水平方向间的夹角为α时,水平射程X最大。
对初速度进行分解,然后由运动学规律不难可以得到以下两个式子:
α
消去①②中的α,得到

整理③式得到

从④式不难可以看出,当t= 时 X最大,有
即⑤
又因为物体在空中下落的过程中,遵守机械能守恒定律,故有
所以有⑥
从①②式中可以得出
将及带入上式得
⑦
由以上推导,可以得出从距水平地面高为H的小球以初速度V斜抛时:
当初速度方向与水平方向间的夹角满足α=arctg时,小球的水平射程为最大,且最大射程为Xm= (其中V为物体落地时的速度,大小为
)
另外,以上结论也可以由动量定理加以证明:
当V和H一定时,由机械能守恒定律得,物体落地时的速度必为定值
因为小球在空中运动时只受重力的作用,由动量守恒定律得:小球从抛出到落地这段时间内,速度由初速度变化到,速度的变化量△V的方向一定在竖直向下的方向上,且满足上图的矢量关系(图中的为物体落地时的速度方向与水平方向间的夹角)
设物体在空中的运动时间为t,水平射程为X,则由运动学知识及动量定理可得出下述两式:
将②式中的t带入①中得到
又因为
而
所以有
由③④⑤三式得
因为、及g均为定值,所以,当(α+β)=90°时,X有最大值,且为,而这一结论与上面的推导结论是完全一致的。
在此,可以得到从高出水平地面H处以初速度V0斜抛出的物体,当满足V的方向与水