线性代数历年考试试题与答案.doc

2003~2004年度第一学期线性代数(工)期末考试试卷(A)
本试卷共九大题
:(每题4分,共20分)
1. 。
,且,则。
。
。
,且在该基下的坐标
为,则t= 。
:(每题4分,共20分)
,则A必有一个特征值[ ]
A. –1 B. 1 C. 0 D. n
,仅有零解的充分必要条件是[ ]
A. A的行向量组线性相关 B. A的行向量组线性无关
C. A的列向量组线性相关 D. A的列向量组线性无关
,则下列[ ]也是该方程的一个基础解系。
A. 与等价的一个向量组 B. 与等秩的一个向量组
C. D.
[ ]
A. 若存在可逆的P使PA=B,则A与B应有相同的标准形
B. 若为A的两个不同的特征值对应的特征向量,则是正交的
C. 若同为实对称阵A的某个特征值的两个特征向量,则必线性无关
D. 矩阵A能对角化的充要条件为A有个n互不相同的特征值
,-1,1,其对应的特征向量分别为,
令,则[ ]
A. diag(0,-1,1) B. diag(-1, 0,1) C. diag(-1,1,0) D. diag(1,0,-1)
三.(7分)求行列式
四.(7分)利用初等变换求的逆矩阵.
五.(8分)设,且,求B.
六.(10分) 求向量组,
的一个最大无关组,并把其余的向量用最大无关组线性表示.
七.(10分)问k为何值时,线性方程组有解,并求出其全部解.
八.(12分)设矩阵A与B相似,其中,
①求x,y; ②求正交阵P,使得.
九.(6分)证明:设A为m×n阵,方程有解的充分必要条件是.
2004-2005学年第1学期考试试题(A)卷
一、选择题
(1)方阵A,B满足r(A)=r(B),则(答案填在卷首答题处)
(A)A-B=O (B)r(A-B)=0 (C)r(A,B)r(A)+r(B) (D)r(A+B)=2r(A)
(2)向量组线性相关,则(答案填在卷首答题处)
(A)可由其余向量线性表示;
(B)至少有一个零向量;
(C)中至少有一个向量可以由其余向量线性表示;
(D)任两个向量成比例.
(3)设n元齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r,则AX=0有非零解的充分必要条件是(答案填在卷首答题处)
(A)r=n (B)r<n (C)rn (D)r>n
(4)n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的(答案填在卷首答题处)
(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件
(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件
(5)矩阵,则(答案填在卷首答题处)
(A)A=O (B)det(A)=0 (C)r(A)=0 (D)A=AT
二、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分。把答案填在卷首答题处)
(6)设A=,则=(答案填在卷首答题处)
(7)设A=,则rank(A)=(答案填在卷首答题处)
(8)设A=,B=,则3AB-2A=(答案填在卷首答题处)
(9)设A=,则|A|=(答案填在卷首答题处)
(10)设是线性方程组AX=b的解,若也是AX=b的一个解,则=(答案填在卷首答题处)
三、解答题(本题共8小题,满分60分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(11)(8分)求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0),
(1, -1, 0, 0, 0).
(12)(8分)求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:
a1=(1, 2, -1, 4)T,a2=(9, 100, 10, 4)T,,a3=(-2, -4, 2, -8)T.
(13)(8分)设向量组设是线性方程组AX=0的一个基础解系,向量满足,证明:向量组线性无关.
(14)(8分)已知n阶矩阵A,B满足AB=A+B,试证A-E可逆,其中E是n阶单位矩阵.
(15)(8分)已知,求A的伴随矩阵.
(16)(10分)求齐次线性方程组的通解:
(17)(10分)试求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵.
2005-2006学年第1学期考试试题(A)卷
一、选择题(,,只有一项符合要求,把所选项前的字母填在题中括号内)
1、排列的逆序数为( ).
(A) ; (B) ; (C) ; (D) .
2、设是阶方阵,经过若干次初等列变换变为矩阵,则( ).
(A); (B)存在可逆矩阵,使;
(C)存在可逆矩阵,