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第七节傅立叶级数
一、三角级数的有关概念
正弦函数是一种常见的周期函数.
如描述简谐振动的函数
非正弦函数的周期函数,将展开成由简单的周期函数如三角函
类似于前面用幂级数展开式表示与讨论函数,对于
数组成的级数,即由下式来表示周期函数f(t):
问题:
1、三角级数
令
则有
称形如上式的级数为三角级数,
为常数。
称为三角函数系
在区间[ -π,π]上正交,
①任何不同的两个函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分等于零,
2、三角函数系的正交性
②两个相同函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分不等于零,
二、函数展开成傅立叶级数
设函数f(x)是周期为
的周期函数,且能展开成三角级数:
1、系数怎么求?
2、是否收敛?
傅立叶(Fourier)系数
函数f(x)的傅立叶级数.
狄利克雷(Dirichlet)收敛定理
⑴在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,
⑵在一个周期内至多只有有限个极值点,
则f(x)的傅立叶级数收敛,并且
当x是 f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);
当x是 f(x)的间断点时,级数收敛于
例1 设
展开成傅立叶级数.
是周期为
的周期函数,它在
上的表达式为
将
解
例2 设
展开成傅立叶级数.
是周期为
的周期函数,它在
上的表达式为
将
解
所以
的傅立叶级数展开式为
如果
只在
上有定义,且满足收敛定理的条件,
则
也可以展开成傅立叶级数.
补充
的定义,
使它拓广成周期为
的周期函数
方法为:
在
或
外
的定义域的过程称为周期延拓.
方式拓广函数
按这种
注
先求
的傅氏级数,
再限制
由于此时
从而得
的傅氏级数,在
处,此级数收敛于
所以
的傅立叶级数展开式为
例3 将函数
展开成傅立叶级数
解
上式从-π到π逐项积分:
由三角函数系的正交性,右端除第一项外,其余均为零,
所以
得
先求
用cosnx上式两端,从-π到π逐项积分,得
其次求
由正交性得,上式除k=n的一项外,其余各项均为零,所以
于是得
用sinnx乘上式两端,从-π到π逐项积分,同上可得
再求