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全面汇总概率论概率论.doc第五章大数定律和中心极限定理
(1)大数定律
切比 雪夫 大数 定律
设随机变量X” ％,…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D (光) <C(i=l,2,…),则对于任意的正数e,有
特殊情形：若X” ％,…具有相同的数学期望E (*) =u,则上式成为
努大定
伯利数律
设U是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的 概率，则对于任意的正数e ,有
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较 大判别的可能性很小，即
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
一钦数聿 辛大超
设X” ％,…，X”…是相互独立同分布的随机变量序列，且E (XQ =u,则对 于任意的正数e有
(2)中心极限 定理
维林伯定 列一德格理
设随机变量X” ％,…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和 方差：，则随机变量
的分布函数E(x)对任意的实数X,有
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
莫-普斯理 棣弗拉拉定
设随机变量为具有参数n, p(O<p<l)的二项分布，则对于任意实数x,有
(3)二项定理
若当，则
超几何分布的极限分布为二项分布。
(4)泊松定理
若当，则
其中k=0, 1, 2,…，n,…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（1）数理 统计的基 本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或 母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
个体
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有 相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数 值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
样本函数 和统计量
设为总体的一个样本，称
（）
为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为 一个统计量。
常见统计
量及其性 质
样本均值
样本方差
样本标准差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
，，
其中，为二阶中心矩。
（2）正态 总体下的 四大分布
正态分布
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
t分布
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中t （n-1）表示自由度为nT的t分布。
设为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中表示自由度为nT的分布。
F分布
设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数
其中
表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。
第七章参数估计
(1) 点估 计
矩估计
设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了 未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方 程，即有
由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数()的矩估计量。
若为的矩估计，为连续函数