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全面总结概率论概率论.doc第五早大数定律和中心极限定理
(1)大数定律
XT"
(2)中心极限 定理
一 (T2
XtN(〃,一)
匕夫娄律
切雪大定
设随机变量X” X2,…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D(X) <C(i=l, 2, •••),则对于任意的正数£ ,有
lim®£xU(X,.) 〈打=1.
i I n ,=i n ,=i )
特殊情形：若X】，X2,…具有相同的数学期望E (XD二u,则上式成为
C
limP
8
、
<£ =1.
)
设U是n次独立试验中事件A发生的次数，P是事件A在每次试验中发生的 概率，则对于任意的正数£ ,有
=1.
/
A —~P
limP
<E
n—8
n
/
伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较 大判别的可能性很小，即
c limP 〃一>8
>£ =0.
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
铲数律
辛大定
设X], X2,…，Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列，且E (Xn)二U,则对 于任意的正数£有
lim P — X j — 〃 < £ — 1.
i I n i=i )
列
德
格
理
设随机变量X” x2,…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和
方差：E(XQ=Z/,O(Xk)= b2。0侬=1,2,...),则随机变量
支Xl叩
Y — <=i 4n(j
的分布函数R(X)对任意的实数X，有
lim Fn (x) = lim P<
n—>oo 凡—8
一时 k=l
4n(j
此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
莫-普斯理
棣弗拉拉定
设随机变量X〃为具有参数n, p(0<p<l)的二项分布，则对于任启、头数X,有
lim P<
1 ex
—/ I e 2出.
A
(3)二项定理
若当n — 8时,州-四以不变)，贝
N
Ck °n~k
m=-m _c：pkQ-p)"-k (Nt8).
C N
超几何分布的极限分布为二项分布。
(4)泊松定理
若当〃—8时,叩—＞人＞0,贝U
-77°或 (〃T8).
k\
其中k=0, 1, 2,…，n,…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（1）数理 统计的基 本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或 母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
个体
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品XpX2,•••,%„称为样本。样本中所含的样品数称 为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立 的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任 一次抽取的结果时，xl,x2,---,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取
之后，x15x2,•••,%„表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
样本函数
和统计量
设X"2，…,X"为总体的一个样本，称
（P =（P （ xl,x2,---,xn ）
为样本函数，其中伊为一个连续函数。如果伊中不包含任何未知参数，则称伊
（xl,x2,---,xn ）为一个统计量。
常见统计
量及其性 质
— 1 n
样本均值 %=—y
〃 ,=i
]〃 —
样本方差 S — Z(" X)•
n -1 ;=i
样本标准差 S = J—XU--%)2.
V » -1 ；=i
样本k阶原点矩
1 n
M k = 一 £x；,k =1,2,....
n i=i
样本k阶中心矩
1 n —
Ml = —-x)侦= 2,3,・“.
n i=i
一 一 (J2
E(X) = jU, D(X) =——,
n
E(S2) = cr2, E(S*2) = -^ct2,
n
1 n 一
其中s*2 =_£(x, _x)2,为二阶中心矩。
〃 i=l
(2)正态 总体下的 四大分布
正态分布
设X],互，…，与为来自正态总体N3 (T2 )的一个样本，则样本函数 "幽 X —£ 顷(0,1).
t分布
设X],互，…，与为来自正态总体N3 (T2 )的一个样本，则样本函数
def X-U, , J、
t= ~r=〜t(n — 1),
si\n
其中t(n-l)表示自由度为