矩阵分析-第六章-矩阵函数.ppt

矩阵分析
主讲教师：魏丰
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第六章 矩阵函数
矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式
定义： 已知 和关于变量 的多项式
那么我们称
为 的求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示
定理：设 ， 为矩阵 的Jordan标准形， 为其相似变换矩阵且使得
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，如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么
其中
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我们称此表达式为矩阵函数 的Jordan表示。
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例 1 ：设
求 的Jordan表示并计算
。
解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
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从而 的Jordan表示为
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当 时，可得
从而有
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当 时，可得
于是有
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当 时，可得
同样可得
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例 2 ：设
求 的Jordan表示并计算
解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵
*
从而 的Jordan表示为
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当 时，可得
*
于是有
当 时，可得
故
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类似可求得
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矩阵函数的多项式表示
定理：设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。
设矩阵 的最小多项式为
其中 为矩阵 的 个互异特征值且
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如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式
且满足条件
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这样，多项式
中的系数 完全可以通过关系式
确定出来。则我们称
为矩阵函数 的多项式表示。
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例 1 ：设
求 的多项式表示并且计算
解：容易观察出该矩阵的最小多项式为
*
这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式
且满足
于是可得
*
解得
所以其多项式表示为
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当 时，可得
于是有
当 时，可得
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故有
类似地有
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例 2 ：设
求 的多项式表示并且计算
解：容易观察出该矩阵的最小多项式为
这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2
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的多项式
且满足
于是有
*
解得
所以其多项式表示为
*
当 时，可得
于是有
当 时，可得
*
故有
类似地有
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例 3 ：设
求 的多项式表示并且计算
解：容易观察出该矩阵的最小多项式为
这是一个2次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式
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且满足
于是有
解得
*
所以其多项式表示为
当 时，可得
从而可得
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当 时，可得
故有
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同样可以得到
练****设
求 的多项式表示并且计算
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矩阵函数的幂级数表示
定义：设 ，一元函数 能够展开成关于 的幂级数
并且该幂级数地收敛半径为 。当矩