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26矩阵的秩-课件（ppt·精·选）.ppt

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文档列表 文档介绍

第六节矩阵的秩
矩阵秩的定义
矩阵秩的求法
矩阵秩的性质
一、矩阵的秩的定义
定义3 设A=( aij )是m×n矩阵,从A中任取k行k列(k≤min (m, n) ),位于这些行和列的相交处的元素,保持它们原来的相对位置所构成的 k阶行列式,称为矩阵A的一个k 阶子式.
定义4 设A为m×n 矩阵,如果A中不为零的子式最高阶数是t,即存在A的t阶子式不为零,而A的所有t+1阶子式皆为零,则称 r (A)=t、R(A)=t 或秩(A)=t当A=O时,规定r(A)=0
r(A)=t
A至少有一个t 阶子式不为0,而A的所有t+1阶子式皆为0, t+2阶子式皆为0,…
从定义可以看出:
(2) r(A)=r(AT) , r(kA)=r(A)
(1) 0 ≤r≤min (m, n)
(3) 若存在 r 阶子式不为零, 则 r(A)≥r ;
若A的所有r+1阶子式全为零,则r(A) ≤r
(4)
结论:行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数
A的所有4阶子式均为零
例1
例2
解
计算A的3阶子式,
用定义求矩阵的秩并非易事,后面我们将用初等变换法去求矩阵的秩.
二、初等变换法求矩阵的秩
根据这个定理, 为求矩阵的秩, 只要把矩
阵用行初等变换变成行阶梯(并不要求是行最
简形)矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数即是
该矩阵的秩.
定理 3 初等变换不改变矩阵的秩
二、矩阵秩的性质

设A为m  n 矩阵, P、 Q分别为
m 阶
和 n 阶可逆矩阵,则
r(PA)=r(A)
r(AQ)=r(A)
r(PAQ)=r(A)
,即
(Sylvester)设A,B分别为mxn和nxk矩阵,则
特别:

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