26 矩阵的秩.ppt

1 第二章矩阵§ 矩阵的秩§ 矩阵的秩一、矩阵秩的基本概念与性质二、利用初等变换求矩阵的秩三、矩阵秩的不等式 2 第二章矩阵§ 矩阵的秩对于线性方程组的求解问题,除了需要研究其求解方法一、矩阵秩的基本概念与性质之外,更重要的是要弄清楚一个给定的线性方程组中到底有多少个方程甚至哪些方程是真正独立的,而其它方程只是由这些方程(线性)组合(?)出来的。对应到线性方程组的系数矩阵或者增广矩阵上,则需要考察矩阵的行之间有无关联,矩阵中有多少行甚至哪些行是“独立”的,哪些行是由其它行(线性)组合出来的。矩阵秩的概念主要回答“多少行”的问题。而下一章线性相关与线性无关的概念主要回答“哪些行”的问题。 3 第二章矩阵§ 矩阵的秩定义在矩阵 A中任取 k 行k 列, 个元素,不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的 k 阶行列式, 显然,矩阵的k 阶子式共有个。 kn ? nmA ?一、矩阵秩的基本概念与性质 阶子式则是A的一个二阶子式。 24 31 kk?位于这些行列交叉处的称为矩阵 A 的一个 k 阶子式。例如设,120 214 321???????????A 4 第二章矩阵§ 矩阵的秩一、矩阵秩的基本概念与性质 阶子式定义换句话说,矩阵 A 的秩 r(A ) 是 A 中不等于零的设在矩阵 A中有一个的 r阶子式不等于 0 ,而所有的 r + 1 阶子式(如果存在的话) 都等于 0, A的秩,记作 r(A)。子式的最高阶数。 2. 矩阵的秩(1) 规定零矩阵的秩等于零。注(2) 对于一个给定的矩阵,它的秩是惟一的。则称 r为矩阵 5 第二章矩阵§ 矩阵的秩一、矩阵秩的基本概念与性质 阶子式 2. 矩阵的秩 3. 性质;)()()2(ArAr T?.)(nAr?(4) 对于 n 阶可逆矩阵 A,有因此,可逆矩阵也称为满秩矩阵。;)0(,)()()3(??kArAkr ;}, min{ )()1(nmAr nm??6 第二章矩阵§ 矩阵的秩例?????????????253 532 321A 求矩阵的秩。,0||?A 解首先, A 的3 阶子式只有一个,||A 且,032 21?其次, 在 A 中有一个 2 )(?Ar 故7 第二章矩阵§ 矩阵的秩故r(B ) = 3 . B的唯一的最高三阶子式,01121 232 211||???B 解例???????????121 232 211B 求矩阵的秩。故r(B ) = 1 . B的所有二阶子式全为零, 解例???????????963 642 321B 求矩阵的秩。存在一阶子式不为零, 8 第二章矩阵§ 矩阵的秩解矩阵 B 的所有 4 阶子式全为零, ,0400 230 312???而3 )(?Br 故矩阵 B是一个行阶梯形矩阵, 启示其非零行有 3 行。 9 第二章矩阵§ 矩阵的秩解矩阵 A 的所有 r +1 阶子式全为零, .)(rAr?故而r阶子式,000 0 222 112 11? rr r ra aa aaa???????例求矩阵的秩,? iia???????????????????0000 0000 221 22 1112 11??????????????????? nrrr n nraa aaa aaaaA10 第二章矩阵§ 矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩。(证明略) 二、利用初等变换求矩阵的秩则行阶梯形定理方法利用初等行变换将矩阵变成为行阶梯形, 推论(1) 设A为矩阵, 为可逆矩阵, nm? nnmmQP ??,;)()()()(QAPrQArAPrAr???(2) 的充要条件是存在可逆矩阵 P, Q ,使得 rAr?)(.00 0??????? rIQAP 矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 则