数学建模第三章线性代数方法建模--3.4投入产出分析.ppt

§4 投入产出分析在一个国家或区域的经济系统中,各部门(或企业)既有消耗又有生产,或说既有投入又有产出,生产的产品供给系统内部各部门和系统以外的需求,同时也消耗系统内各部门所提供的产品。消耗的目的是为了生产,生产的结果又必然要创造新价值,以支付工资和获取利润。对每一部门,物质消耗和新创造的价值等于它生产的总产值,这就是投入和产出之间的平衡关系。美国经济学家哈佛大学教授 于 20 世纪 30 年代首先提出并成功建立了国民经济的投入产出数学模型,并数次制定主持美国的国民经济投入产出表,这一方法即投入产出法以其重要的应用价值迅速为世界各国经济学界和决策部门所采纳,因此他获得 1973 年的 Nobel 经济学奖。设有 n 个经济部门组成的经济系统。模型假设:1、部门i 仅生产一种产品i ,称为部门i 的产出,不同部门的产品不能相互替代;2、部门i 在生产过程中至少需要消耗另一部门 j 的产品,称为部门 j 对部门i 的投入,并且消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产出量成正比。记ix —部门i 的总产出),,2,1( ni ijx —部门i 分配给部门 j 的产品量),,2,1,( nji ija —部门 j 的单位产品对部门i 产品的消耗),,2,1,( nji iy —外部对部门i 的需求),,2,1( ni jz —部门 j 新创造的价值),,2,1( nj 则显然有 ijx = ija jx利用统计资料,可以编制下面的投入产出表。中间产品产出投入部门 1 部门 2 …部门n最终产出总产出部门 1 11x 12x … nx1 1y 1x部门 2 21x 22x … nx 2 2y 2x…………………中间投入部门 n 1nx 2nx … nnx ny nx新创产值 1z 2z … nz投入产出模型按计量单位的不同,分为价值型和实物型,在价值型模型中,各部门的投入、产出均以货币单位表示;在实物型模型中,则按各产品的实物单位(如吨、米等)为单位。我们在这里仅讨论价值型模型,至于实物型模型,可以证明相应的直接消耗系数矩阵与货币型模型的直接消耗系数矩阵相似,因此模型的结论是一致的。一、平衡方程组对每一部门,作为系统内部各部门的消耗+外部需求=总产品,即),,2,1(1nixyxa iijijnj (1)(1)称为分配平衡方程组。对系统内各部门产品的消耗+新创价值=总产值,即),,2,1(1njxzxanijjjji(2)(2)称为消耗平衡方程组。记nnnnnnaaaaaaaaaA2**********, nxxxx21, nyyyy21则(1)可写成矩阵形式yAxx 或 yxAI )( (3)下面讨论新创造价值的计算:记niinniiniiaaaD11211,nzzzz21则(2)可写成矩阵形式zxDx (4)或 xDIz )( 二、完全消耗系数直接消耗系数 ija ),,2,1,( nji 表示部门 j 在生产单位产品 j 时,所需直接消耗产品i 的数量。然而,在生产过程中,除了部门间的这种直接联系外,各部门间还具有间接的联系。例如:飞机制造部门需直接消耗电力外,还要消耗铝、钢等产品。而生产铝、钢等产品的部门也需要消耗电力。对于飞机制造部门而言,这类消耗是对电力的一次间接消耗。而对生产铝、钢等产品的部门也通过其它部门间接消耗电力。