数学建模第四章差分方程方法建模--5.2生态系统.ppt

§2 生态系统一、一阶常系数线性差分方程),2,1,0()(1nnfayy nn其通解是对应齐次方程),2,1,0(01nayy nn的通解nnaCy )( 加上原方程的一个特解*y 。*y 的算法是待定系数法。(1) mnPnf m )()( 次多项式1,11,0,)(*aaknQny mk(2) nbdnf )( 指数函数dadakdAnynk,1,0,*二、应用举例设想在一个长满了青草的小荒岛上栖息繁衍着一群野兔。开始时共有野兔 0y 只,我们来研究其数目随时间变化的规律。假设第n 年野兔的数目用 ny 表示。记第0年的野兔数为 0y 。(1)先作如下的假设:下一年野兔的净增加数目和上一年的数目成正比,且比例系数是一个常数,记为)1( KK 。这种假设是很合理的,因为在野兔的食物—青草非常充足的条件下,一年内新出生的野兔数和成年母兔数成正比,而成年母兔数又和野兔总数成正比,因而一年内新出生的野兔数和野兔总数成正比。另一方面,一年内死亡的野兔数大体也和野兔总数成正比。这样,第n 年野兔的净增加数(出生数减去死亡数) 1 nnyy 和上一年野兔的数目 1ny 成正比,即可以列出方程:11 nnnyKyy移项整理后得到方程1 nnyKy (1)这里 1 KK 。这是一阶常系数齐次线性差分方程。可以计算出第n 年的野兔总数为nnKyy 0这个描述野兔数目的模型是否合理呢?假设 , 1000y ,计算对应的 ny 值列表如下:n 0 1 2 3 4 8 10 15 20 50ny 100 140 196 274 384 1 475 2 893 15 576 83 668 20(亿)这是一个按指数增长的量,由表中数据我们发现,50 年后野兔的总数为 20 亿!也许有人会认为 太大,但是对于一年可以生育2~3次的兔子来说 不应该算太大。问题可能出在这个小岛上青草是否能够支持这么多的野兔生存下来?其实,这个模型最严重的缺陷就是没有反映野兔生存资源对野兔种群的约束。于是我们要改进模型。(2)进一步的模型设想小荒岛上的青草最多可以养活 y 只野兔。y是自然资源所能承担的野兔的最大容量。我们修改关于野兔数目的假设如下:下一年野兔的数目和上一年的数目成正比,比例数)( 1 nyyK ,即与上一年的野兔数目有关。这样我们得到方程11)( nnnyyyKy (2)我们先来看看假设的合理性。方程(2)等价于)( 11 nnnyyKyy(3)方程左端 1nnyy是前后两年野兔数目的比值。当1ny 与 y 之差)( 1 nyy 是一个较大的数时,说明自然资源还有较大的能力支持野兔种群的扩大,下一年的野兔总数 ny 可以有一个较大的增长。当 1ny 与 y 之差)( 1 nyy 是一个较小的正数时,说明自然资源已没有更多的能力支持野兔种群的扩大。甚至当1)( 1 nyyK 时,野兔总数还会减缩。由于无法求出方程(3)的一般解,作为例子,取 , 10y 亿,计算得 ny 的数值如下表:n 0 1 2 3 4 8 10 15 20 30 40 50ny 100 150 224 336 502 2 441 5 168 21 945 32 579 33 332 33 333 33 333我们发现,随着时间 n 的发展, ny 会越来越趋于 33333,这个数是自然资源和野兔内在增长机制之间的一个平衡量。