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氢原子的量子力学理论
1926年,Erwin Schrodinger给出了一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满足的方程,称为薛定谔方程
玻恩给出了波函数的概率解释
波函数的平方表征了t 时刻,空间(x,y,z)处粒子出现的概率密度
如势能函数不是时间的函数,用分离变量法将波函数写为:
得:定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
氢原子是两体问题,可以通过坐标的选取化为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题,从而给出其薛定谔方程。
氢原子中的电子在核电场中运动,其电势能为:
势能函数不显含时间,只需求解定态薛定谔方程
势能具有球对称性,采用球坐标系,这时方程可分离变量
在能量E < 0的情况下,可解出方程满足标准条件
(单值、有限、连续)的非零解,
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
(1)主量子数 n
(2)角量子数 l
对于一个确定的 n 值,l = 0,1,2,…,n - 1,λ= l(l+1)
氢原子系统的轨道角动量
(3)磁量子数 m
对于一个确定的 l 值,m = l , l - 1,…,0, …,- l ,
氢原子系统的轨道角动量的 z 分量
氢原子的能级和波函数
氢原子的能级
每一组量子数(nlm)对应一个确定的定态
能级只与主量子数 n 有关,与 lm 无关,能级是简并的。
氢原子的轨道角动量
角动量的分量总小于角动量本身
氢原子的定态波函数
简并度
径向函数
球谐函数
电子波函数的径向分布和角分布
电子的能量本征函数为径向函数和球谐函数的乘积:
电子的径向分布
电子的角分布
设在空间(r,θ,φ)处体积元 dV 处发现电子的几率为
Wnl(r)为沿径向在r到r+dr之间发现电子的几率
所以,电子的径向分布为
定义为电子的角分布:
电子的角分布
角量子数:
氢原子的基态波函数:
三个量子数n, l, m:
n:主量子数;
l:角量子数;
m:磁量子数;
通常,将 l = 0的态称为s态, l = 1, 2, 3,…的态依次称为 p, d, f, …态,处于这些态的电子依次称为s, p, d, f,…电子。