线性方程组的应用.ppt

线性代数是最有趣最有价值的 大学数学课程 ----David C. Lay
广泛地应用于工程学,计算机科学,物理学,数学,生物学,经济学,统计学,力学,信号与信号处理,系统控制,通信,航空等学科和领域。
应用于理工类的后继课程,如电路、理论力学、材料力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学等课程。
线性方程组的应用
剑桥减肥食谱问题
一种在20世纪80年代很流行的食谱,称为剑桥食谱,是经过多年研究编制出来的。这是由Alan H. Howard博士领导的科学家团队经过8年对过度肥胖病人的临床研究,在剑桥大学完成的。这种低热量的粉状食品精确地平衡了碳水化合物、高质量的蛋白质和脂肪、配合维生素、矿物质、微量元素和电解质。为得到所希望的数量和比例的营养,Howard博士在食谱中加入了多种食品。每种食品供应了多种所需要的成分,然而没有按正确的比例。例如,
脱脂牛奶是蛋白质的主要来源但包含过多的钙,因此大豆粉用来作为蛋白质的来源,它包含较少量的钙。然而大豆粉包含过多的脂肪,因而加上乳清,因乳清含脂肪较少,然而乳清又含有过多的碳水化合物…
在这里我们把问题简化,看看这个问题小规模的情形。表1是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。
3

7
0
脂肪
45
74
34
52
碳水化合物
33
13
51
36
蛋白质
乳清
大豆面粉
脱脂牛奶
减肥所要
求的每日
营养量
每100克食物所含营养(g)
营养
表 1
如果用这三种食物作为每天的主要食物,那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求?
以100克为一个单位,为了保证减肥所要求的每日营养量,设每日需食用的脱脂牛奶x1个单位,大豆面粉x2个单位,乳清x3个单位,则由所给条件得
解上方程组得,解为
即为了保证减肥所要求的每日营养量,,,。
MATLAB代码如下:
clear;
A=[36,51,13;52,34,74;0,7,];
b=[33;45;3];
U=rref([A,b])
网络流问题当科学家、工程师或者经济学家研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组。例如,城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式;电气工程师计算流经电路的电流;以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售。许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程。
一个网络包含一组称为接合点或节点的点集,并由称为分支的线或弧连接部分或全部的节点。流的方向在每个分支上有标示,流量(速度)也有显示或用变量标记。
网络流的基本假设是全部流入网络的总流量等于全部流出网络的总流量,且全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量。于是,对于每个节点的流量可以用一个方程来描述。网络分析的问题就是确定当局部信息(如网络的输入)已知时,求每一分支的流量。
电路问题
在工程技术中所遇到的电路,大多数是很复杂的,这些电路是由电器元件按照一定方式互相连接而构成的网络。在电路中,含有元件的导线称为支路,而三条或三条以上的支路的会合点称为节点。电路网络分析,粗略地说,就是求出电路网络种各条支路上的电流和电压。对于这类问题的计算,通常采用基尔霍夫(Kirchhoff)定律来解决。以图3-2所示的电路网络部分为例来加以说明。