第5章 矩阵分析.ppt

§ 矩阵函数
一、定义和性质
1 (p125)
f(z) = 是解析函数,收敛半径为R,如果
(A)< R, 则有意义。
常见的矩阵函数
eA,cosA,sinA,ln(I+A)
函数 eA 的若干性质:
AB=BA, eA eB = eBeA = eA+B ,
e0 =I
( eA )–1 = e – A 。
定义f(A)=
例题5、设A为反对称矩阵,证明eA为正交矩阵。
例题6 设,讨论 lnA 是否有意义
二、矩阵函数的计算
计算f(A)=
1、 Jordan标准形方法:
A=P J P –1 , f(A)=Pf(J)P – 1;
计算矩阵序列:Sn(J)
按元素收敛求得:
如果 A=PJP –1, 则f(A)=Pf(J)P –1;
如果i为矩阵A的特征值, 则f(i) 是矩阵f(A)的特征值
含参数 t 的函数 f(At)。
例题1 ,计算eA和eAt。
2、最小多项式方法
由在谱上等值确定g(),则f(A)=g(A)
例题2 设,计算eA和eAt
例题3 设,计算A10。
例题4 (P129 eg15)
例题5 设,
用Jordan化方法计算sinA。
求sinA的Jordan标准形J,并求矩阵Q, 使得QsinAQ – 1 =J
§ 矩阵函数的微积分
一、矩阵函数及其分析性质
矩阵函数:A(t)=[aij(t)] m×n,
分析性质:
A(t)连续、可微分、可积分 aij(t)
连续
可微分
可积分
微分性质(p130)
三、一阶线性常系数非齐次微分方程组
求解: X ' (t)=AX(t)+f(t)
X(t 0 )=C。
(P133) :上述方程组的解为:
X(t)=e A(t – t 0) x(t0)+
例题2 求解