函数的单调性与最大小值.docx

函数的单调性与最大小值.docx 函数的单调性与最大(小)值

(1)增函数与减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:
①如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.
②如果对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是.
(2)单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ,区间D叫做y=f(x)的.

(1)最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有;
②存在x0∈I,使得.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)最小值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数N满足:
①对于任意的x∈I,都有;
②存在x0∈I,使得.
那么我们称N是函数y=f(x)的最小值.
自查自纠
1.(1)①任意两个增函数
②任意两个减函数
(2)单调性单调区间
2.(1)①f(x)≤M ②f(x0)=M
(2)①f(x)≥N ②f(x0)=N

(教材****题改编)函数f(x)=-3x+2在区间[-1,2]上的最大值为( )
C.-4 D.-1
解:f(x)单调递减,故f(x)max=f(-1)=.
(2016·北京)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
= =cosx
=ln(x+1) =2-x
解:选项A中函数y==-在区间(-1,1)上是增函数;选项B中函数y=cosx在区间(-1,0)上是增函数,在区间(0,1)上是减函数;选项C中函数y=ln(x+1)在区间(-1,1)上是增函数;选项D中函数y=2-x=在区间(-1,1).
(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(4,+∞)
解:函数有意义,则x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4,+∞).故选D.
(2016·北京)函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.
解:易得f(x)==1+,当x≥2时,x-1>0,易知f(x)在[2,+∞)是减函数,所以f(x)max=f(2)=.
已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a的取值范围为________.
解:函数的对称轴为直线x=a,因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性,只需a≤1或a≥(-∞,1]∪[2,+∞).
类型一确定函数的单调性与单调区间
(1)已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为( )
A.(-∞,1] B.[3,+∞)
C.(-∞,-1] D.[1,+∞)
解:设t(x)=x2-2x-3,由t(x)≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,