常微分方程数值解法.ppt

数值分析
第5章常微分方程数值解法
§1 引言
基本概念
1. 常微分方程的初值问题:
称为具有初值()的常微分方程.
①若f(x,y)在{axb, |y|<+}上连续,且关于y满足Lip条件:常数L使| f(x, y1) –f(x, y2)|  L|y1 – y2|
则初值问题()()存在唯一连续可微解y(x).
注:以下总假设f 满足Lip条件.
§1 引言
基本概念
1. 常微分方程的初值问题:
称为具有初值()的常微分方程.
②()()等价于微分方程:
()
注:一般无初等解(解析解),即使有形式也复杂.
§1 引言
基本概念
2. 初值问题的数值解

设()()的解y(x)在节点xi处的近似解值为
yi  y(xi), a < x1 < x2 < …< xn = b
则称yi (i = 1, 2, …, n)为()()的数值解,又称y(xi)的计算值.
§1 引言
基本概念
3. 数值方法
①两种转化:
由微分出发的数值方法.
由积分出发的数值方法.
②计算方法
步进法:从初始条件出发,逐步求y1, y2, …, yn.
又有两种:单步法,多步法.
注:采用等距节点:
§1 引言
基于数值微分的求解公式.

()
§1 引言
基于数值微分的求解公式.
1. 前进欧拉公式
()的前半部分为:
令 yi+1 = yi + hf(xi, yi) ()
其中yi = y(xi) , 则yi+1  y(xi+1)
§1 引言
基于数值微分的求解公式.
1. 前进欧拉公式

令 yi+1 = yi + hf(xi, yi) ()
其中yi = y(xi) , 则yi+1  y(xi+1)
记()
则
称()为前进欧拉求解公式. 简称为欧拉公式或欧拉法. ()称为欧拉公式的余项:ei+1(h) = y(xi+1) –yi+1
§1 引言
基于数值微分的求解公式.
2. 后退欧拉公式
()的后半部分
令 yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1) ()
其中yi = y(xi), 则yi+1  y(xi+1)
§1 引言
基于数值微分的求解公式.
2. 后退欧拉公式
令 yi+1 = yi + hf(xi+1, yi+1) ()
其中yi = y(xi), 则yi+1  y(xi+1)
注:①()中f(xi+1, yi+1)  f(xi+1, y(xi+1))
∴余项

()