毕业论文正交矩阵及其应用.doc

正交矩阵及其应用Theorthogonalmatrixanditsapplicalion摘要正交矩阵是数学研究中的一类重要的工具,:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、:矩阵;正交矩阵;标准正交基;集合;特征根;行列式AbstractOrthogonalmatrixisthemathematicalstudyofanimportantclassoftools,:orthogonalmatrixinlinearalgebra,OrthogonalmatrixtopologyandModemAlgebra,:matrix;orthogonalmatrix;orthonormalbasis;acollectionofeigenvalues;determinant目录摘要 IAbstract II0引言 11正交矩阵的定义及其简单性质 12正交矩阵的应用 11参考文献 150引言正交矩阵是一类重要的实方阵,由于它的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,,来探讨它的四大应用即:正交矩阵在线性代数中的应用、正交矩阵在拓扑和近世代数中的应用、;[1]阶实矩阵,若满足,,它有如下性质:性质1[5],存在,并且也为正交矩阵;性质2[5],也是正交矩阵;当时,,即;当时.,[5]若也是正交矩阵,,,,当时,,即;当时,,即;,,,还有例如它的特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交;如果是它的特征值,那么也是它的特征值,另外正交矩阵可以对角化,即存在复可逆矩阵,使其中为的全部特征值,,有一类初等旋转矩阵,,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,,令,,,是由向量的第两个元素定义的,,则有如下的性质:<1>是正交矩阵;<2>设,则有;<3>用左乘任一矩阵,只改变的第行和行元素(用右乘任一矩阵,只改变的第列和列元素).证明<1>,故,是正交矩阵.<2>由得定义知,用左乘向量,只改变的第两个元素,且所以左乘,使的第个分量非负,第个分量为0,其余分量不变.<3>根据<2>,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵,<1>若,则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积,即;<2>若,则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵,即,,根据引理1知存在初等旋转矩阵使这里是阶上三角阵,而且得对角线上的元素除最后一个外都是正的,所以有()由是正交矩阵和()式得即()设其中,,则由上式得所以()于是由()()式得<1>当时,;<2>当时,.记,是初等旋转矩阵,,秩,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵,又根据定理1知:其中是初等旋转矩阵.<1>当时,令<2>当时,于是有显然,是阶上三角阵,当时与除最后一行对应元素绝对值相等、符号相反外,,,所以由<1>、<2>