高考递推数列题型分类归纳解析.doc

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;mercialuse递推数列题型高考归纳解析各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是数列问题的难题。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。类型1. 解法:把原递推公式转化为,利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足,,求。解:由条件知: 分别令,代入上式得个等式累加之,即所以, 变式:(2004,全国I,)已知数列,且a2k=a2k-1+(-1)k,  a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….(I)求a3,a5;(II)求{an}:∵, ∴,即∴, …… ……将以上k个式子相加,得将代入,得, 。经检验也适合,∴类型2.   解法:把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足,,求。解:由条件知,分别令,代入上式得个等式累乘之,即又,例2:已知, ,求。解: 。例3:(2004,全国I,理15.)已知数列{an},满足a1=1, (n≥2), 则{an}的通项  解:由已知,得,用此式减去已知式,得当时,,即,又, ,将以上n个式子相乘,得类型3.(其中p,q均为常数,)。解法(待定系数法):把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。例1:已知数列中,,,:设递推公式可以转化为即. 故递推公式为,令,则,且. 所以是以为首项,2为公比的等比数列,则,:(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项=_____(key:)例3:(.)已知数列满足(I)求数列的通项公式;(II)若数列{bn}滿足证明:数列{bn}是等差数列;(Ⅲ)证明:(I)解: 是以为首项,2为公比的等比数列  即(II)证法一:①②②-①,得即③-④,得即是等差数列 证法二:同证法一,得,令得设下面用数学归纳法证明(1)当时,等式成立 (2)假设当时,那么这就是说,当时,等式也成立  根据(1)和(2),可知对任何都成立  是等差数列 (III)证明: 变式:递推式:。解法:只需构造数列,.(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q, r均为常数)。解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:引入辅助数列(其中),得:再待定系数法解决。例1:已知数列中,,,求。解:在两边乘以得: 令,则,解之得: 所以例2:(2006,全国I,理22)设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:解:(I)当时,; 当时,, 即,利用(其中p,q均为常数,)。(或,其中p,q, r均为常数)的方法,解之得:(Ⅱ)将代入①得 Sn=×(4n-2n)-×2n+1+=×(2n+1-1)(2n+1-2)=×(2n+1-1)(2n-1) Tn==×=×(-)所以,=-)=×(-)<(其中p,q均为常数)。解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为其中s,t满足解法二(特征根法):[这是新补充的方法,仅供学有余力的同学用]对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。解法一(待定系数——迭加法):数列:,,求数列的通项公式。由,得,且,则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是。把代入,得,,,……。把以上各式相加,得。。解法二(特征根法):[补充的方法,供学有余力的同学看]数列:,的特征方程是:。,∴。又由,于是故例1:已知数列中,,,,求。解:由可转化为即或这里不妨选用(当然也可选用,大家可以试一试),则是以首项为,公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法,分别令,代入上式得个等式累加之,即