一元函数微分学.doc

§(甲)内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域内有定义,自变量在处有增量,相应地函数增量。如果极限存在,则称此极限值为函数在处的导数(也称微商),记作,或,,等,并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在,则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式,令,,则我们也引进单侧导数概念。右导数:左导数:则有:在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。,则在几何上表示曲线在点()处的切线的斜率。切线方程:法线方程:设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为,如果存在,则表示物体在时刻时的瞬时速度。,则在点处一定连续,反之不然,即函数在点处连续,却不一定在点处可导。例如,,在处连续,却不可导。,如果函数的增量有下面的表达式()其中为为无关,是时比高阶的无穷小,则称在处可微,并把中的主要线性部分称为在处的微分,记以或。我们定义自变量的微分就是。,微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量。。且一般地,则所以导数也称为微商,就是微分之商的含义。,则把在点处的导数称为在点处的二阶导数,记以,或,或等,也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在,称为的阶导数,记以,,等,这时也称是阶可导。二、(1)四则运算求导和微分公式(2)反函数求导公式(3)复合函数求导和微分公式(4)隐函数求导法则(5)对数求导法(6)用参数表示函数的求导公式(乙)典型例题一、用导数定义求导数例设,其中在处连续,求解:二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数试确定、的值,使在点处可导。解:∵可导一定连续,∴在处也是连续的。由要使在点处连续,必须有或又要使在点处可导,必须,,,问和为何值时,可导,且求解:∵时,,时,∴由处连续性,,,可知再由处可导性,存在存在且根据洛必达法则,∴于是三、运用各种运算法则求导数或微分例1设可微,,求解: 例2设,求解:对求导,得再令,,对求导,,∴于是()例3设由方程所确定,求解:两边取对数,得,对求导,,例4设求解:四、求切线方程和法线方程例1已知两曲线与在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求。解:由已知条件可知,故所求切线方程为,例2已知曲线的极坐标方程,求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解:,在邻域内,恒有。其中,在处可导,求曲线在点()处的切线方程。解:由题设可知,,故切线方程为所以关键是求出和由连续性由所给条件可知,∴再由条件可知令,又∵∴上式左边==则所求切线方程为即五、,求解:例2设求解:例3设由方程所确定,求解:,(,正整数)先求出,总结出规律性,然后写出,最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式(1)(2)(3) (4) (5) 两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中,,假设和都是阶可导例1设(正整数),求(正整数)解:例2设,求(正整数)解:例3设,求(正整数)解:……例4设,求(正整数)解:例5设,求(正整数)解:用莱布尼兹公式§:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理(泰勒公式)。这部分有关考题主要是证明题,其中技巧性比较高,因此典型例题比较多,讨论比较详细。(甲)内容要点一、罗尔定理设函数满足(1)在闭区间[]上连续;(2)在开区间()内可导;(3)则存在,使得几何意义:条件(1)说明曲线在和之间是连续曲线;[包括点A和点B]。条件(2)说明曲线在之间是光滑曲线,也即每一点都有不垂直于轴的切线[不包括点和点]。条件(3)说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点,它的切线平行于轴。二、拉格朗日中值定理设函数满足(1)在闭区间[]上连续;(2)在开区间()内可导则存在,使得或写成有时也写成这里相当或都可以,可正可负。几何意义:条件(1)说明曲线在点和点之间[包括点和点]是连续曲线:条件(2)说明曲线[不包括点和点]是光滑曲线。结论说明:曲线在,之间[不包括点和点],至少有点,它的切线与割线是平行的。推论1若在内可导,且,则在内为常数。推论2若和在()内可导,且,则在内,其中为一个常数。(注:拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当特殊情形,就是罗尔定理)