求函数极限方法和技巧.doc

芅求函数极限的方法和技巧螀罿在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学****数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。膅一、求函数极限的方法肄1、运用极限的定义:袀例:用极限定义证明:莀证:由袇,取,则当时,就有螃由函数极限定义有:。羀2、利用极限的四则运算性质:薇若 芅(I)薂(II)羀(III)若B≠0则:羈(IV)(c为常数)肆上述性质对于薅例:求肀解:=荿3、约去零因式(此法适用于)蒄例:求莃解:原式=膀=蝿===膆4、通分法(适用于型)膂例:求芀膀解:原式=== 蚄5、利用无穷小量性质法(特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质)膅设函数f(x)、g(x)满足:(I)(II)(M为正整数)莀则:芇例:求莆解:由而故原式=羄葿6、利用无穷小量与无穷大量的关系。蚈(I)若:则肈(II)若:且f(x)≠0则螃例:求下列极限葿①②聿解:由故薆 由故=蒂7、等价无穷小代换法蕿设都是同一极限过程中的无穷小量,且有:,存在,则也存在,且有=蒀例:求极限芈解: =薅注:在利用等价无穷小做代换时,一般只在以乘积形式出现时可以互换,若以和、差出现时,不要轻易代换,因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”虿8、利用两个重要的极限。蚇蚅但我们经常使用的是它们的变形:芄蝿例:求下列函数极限肇蒇肂膃蒈袅9、利用函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)。肅膃例:求下列函数的极限衿(2)薇袄10、变量替换法(适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型)特别地有:芃m、n、k、l为正整数。芀例:求下列函数极限肅①、n②蚃解:①令t=则当时,于是莂原式=莇②由于=螇令:则莂==蒂=螈11、利用函数极限的存在性定理芅定理:设在的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x),且有:,则极限存在,且有蒅例:求(a>1,n>0)薂解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1腿于是当n>0时有: 及羇又当x时,k有膄蚂及=0薀12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形)。莄定理:函数极限存在且等于A的充分必要条件是左极限及右极限都存在且都等于A。即有:羃==A螂例:设=求及蚆肆由螁螂13、罗比塔法则(适用于未定式极限)肇定理:若薄螄此定理是对型而言,对于函数极限的其它类型,均有类似的法则。袂注:运用罗比塔法则求极限应注意以下几点:蒈要注意条件,也就是说,在没有化为时不可求导。芆应用罗比塔法则,要分别的求分子、分母的导数,而不是求整个分式的导数。薃要及时化简极限符号后面的分式,在化简以后检查是否仍是未定式,若遇到不是未定式,应立即停止使用罗比塔法则,否则会引起错误。羂4、当不存在时,本法则失效,但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。衿例:求下列函数的极限螄①②莂解:①令f(x)=,g(x)=l肁,芀蒆由于但莅从而运用罗比塔法则两次后得到膁蒇②由故此例属于型,由罗比塔法则有:膈膄14、利用泰勒公式芁对于求某些不定式的极限来说,应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便,下列为常用的展开式:袈1、蚆2、袃3、莁4、艿5、莇6、蚂上述展开式中的符号都有:莁例:求蚀解:利用泰勒公式,当有螅于是=