Lebesgue测度.doc

蚆第二章测度论薄蚃引言肇实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼(Riemann)积分进行推广,而建立一种应用范围更广,使用起来更灵活、,但随着理论的发展,Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显,主要表面在以下两个方面:一方面是对被积函数的连续性要求太强,以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积;另一方面是应用起来有很大的局限性,这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分,以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面,一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性,而这一要求在实际问题中常常得不到满足,或虽然满足要想验证又非常的繁复,因此,,一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中,对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分,即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”“有面积或体积”划分的含义进行扩充,即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充,使之适合于更广的一类集合,由此便产生了本章要介绍的集合的测度;,以致于函数的连续性稍微不好,,使之适合于更广的一类函数,,它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广(即能保持通常意义下“体(面)积”的特性:①非负性;②当集合为区间时,其测度即为区间的体积;③完全可加性即当{}为一列互不相交的有测度的集合时,的测度恰好为每个集的测度之和).肀§1外测度袆一、,则称为区间,显然时,,是中覆盖的任一列开区间,即,羄记(可以取+),显然所有这样的构成一个有下界的数集,则它的下确界称为的Lebesgue外测度,记为螂注定义中覆盖的开区间列,可以只有有限个开区间,也可以有可数个开区间,显然,对任意,均存在,且可以取+.聿蒈二、外测度的基本性质蒅定理外测度具有如下性质:蒄(1)对任意都有(非负性),肂(2)设,则(单调性),薈(3)设,则(次可加性),袆(4)设,若,则(隔离性).羂证明(1)显然成立。下面只证(2)(3)(4)袁(2)因为对任意覆盖A的开区间列,由于蚇所以,从而,.芇(3)由外测度的定义知,对任意给定的正数,(4),存在开区间列,使膂且,荿因为,若保留;若则用分点将分成有限个小的袇开区间,使,并且各分点再用个长度小于的开区螅间盖住,使得,用上述得到的及代替,袄显然,蒂把改造后的开区间列记为,则,,所以把分为两类,芁含有中点的作为一类记为,含有中点的作为一类记为,则膁, 羇所以,薆再让→0得羃,[0,1]中的全体有理数,>0,取蒁显然,,羂让ε→0得,证毕.***思考题若为中的可数点集,,,则对任意,(1)、(2)得芆,(1)(2),,,存在开区间I*,使且||<||+艿由外测度的定义知,再让,,作闭区间,使且||<||+.又由外测度的定义知对上述及ε,存在开区间列使I0,且,由Borel有限覆盖定理,在{}中存在有限多个区间,不妨设为使,所以从而肅||<||+,莂让,得,故,,如何证明?蒄注例4表明外测度是“面积或体积”§2可测集薆上节介绍的集合的外测度是区间“体积”的一种拓广,这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢?在通常意义下,有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合,总有的体积=的体积+的体积,即体积具有可加性”,对外测度而言,当时,,但仅当且时有例子可以说明 并不一定成立,这说明对一般集合而言外测度并非通常意义下“体积”,必须对所考虑的集合作一些