Lebesgue测度.doc

引言
实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼(Riemann)积分进行推广,而建立一种应用范围更广,使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue积分理论.
数学分析中Riemann积分基本上是处理几乎连续的函数,但随着理论的发展,Riemann积分理论的缺陷变得愈来愈明显,主要表面在以下两个方面:一方面是对被积函数的连续性要求太强,以致于著名的Dirichlet函数这样一种非常简单的函数都不可积;另一方面是应用起来有很大的局限性,这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分,以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面,一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性,而这一要求在实际问题中常常得不到满足,或虽然满足要想验证又非常的繁复,因此,无论在理论方面还是在实际应用方面改进Riemann积分的定义使之适用更广泛的函数类是很有必要的.
通常对Riemann积分的改进可从两方面着手,一方面是对积分范围划分的改进。在Riemann积分中,对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分,即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于Dirichlet函数不可积. 所以有必要对“有面积或体积”划分的含义进行扩充,即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充,使之适合于更广的一类集合,由此便产生了本章要介绍的集合的测度;另一方面是对被积函数进行改进. Riemann积分中的被积函数对连续的要求很苛刻,以致于函数的连续性稍微不好,就会导致函数不可积. 所以有必要对被积函数在已有的测度的基础上进行扩充,使之适合于更广的一类函数,由此产生了第三章要介绍的可测函数.
本章主要介绍集合的Lebesgue测度,它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广(即能保持通常意义下“体(面)积”的特性:①非负性;②当集合为区间时,其测度即为区间的体积;③完全可加性即当{}为一列互不相交的有测度的集合时,的测度恰好为每个集的测度之和).
§1 外测度
一、外测度的定义
记中的开区间其中为有限数.
若上述记号中等号可能出现,则称为区间,显然时,即为上的区间.
另外还规定为区间的体积.
定义1 设,是中覆盖的任一列开区间,即,
记(可以取+),显然所有这样的构成一个有下界的数集,则它的下确界称为的Lebesgue外测度,记为
注定义中覆盖的开区间列,可以只有有限个开区间,也可以有可数个开区间,显然,对任意,均存在,且可以取+.
二、外测度的基本性质
定理外测度具有如下性质:
(1)对任意都有(非负性),
(2)设,则(单调性),
(3)设,则(次可加性),
(4)设,若,则(隔离性).
证明(1)显然成立。下面只证(2)(3)(4)
(2)因为对任意覆盖A的开区间列,由于
所以,从而,.
(3)由外测度的定义知,对任意给定的正数,存在覆盖的开区间列使
显然
所以.
(4)仅在上证明. 对任意,存在开区间列,使
且,
因为, 若保留;若则用分点将分成有限个小的
开区间, 使, 并且各分点再用个长度小于的开区
间盖住, 使得,用上述得到的及代替,
显然,
把改造后的开区间列记为,则,
且.
由于中任何不可能同时含有中的点,所以把分为两类,
含有中点的作为一类记为,含有中点的作为一类记为,则
,
所以,
再让→0得
, 证毕.
例1 设为[0,1]中的全体有理数,则.
证明因为为可数集记为
对任意ε>0,取
显然, ,
让ε→0得,证毕.
思考题若为中的可数点集,则.
注外测度为零的集称为零测集,故中的可数点集为零测集.
例2 若,则对任意,总有.
证明由外测度的性质(1)、(2)得
,
所以.
例3 (1)零测集的任意子集仍为零测集.
(2)至多可数个零测集的并集仍为零测集.
由零测集的定义及外测度的性质易证,证明留给读者.
例4 对任何区间,总有.
证明对任意,存在开区间I*,使且||<||+
由外测度的定义知,再让,得.
下证.
对任意,作闭区间,使且||<||+. 又由外测度的定义知对上述及ε,存在开区间列使I0,且,由Borel有限覆盖定理,在{}中存在有限多个区间, 不妨设为使, 所以从而
||<||+,
让,得,故,证毕.
思考题若为无穷区间,如何证明?
注例4表明外测度是“面积或体积”的一种拓广.
§2 可测集
上节介绍的集合的外测度是区间“体积”的一种拓广,这种拓广是否为通常意义下“体积”的拓广呢? 在通常意义下,有体积的集合有这样一个性质:“对两个有体积的不交集合,总有的体积=的体积+的体积,即体积具有可加性”,对外测度