Lebesgue测度.doc

63 第二章测度论引言实变函数论的核心问题是对读者在数学分析中已学过的黎曼( Riemann )积分进行推广,而建立一种应用范围更广,使用起来更灵活、便利的新的积分理论即Lebesgue 积分理论. 数学分析中 Riemann 积分基本上是处理几乎连续的函数,但随着理论的发展,Riemann 积分理论的缺陷变得愈来愈明显,主要表面在以下两个方面:一方面是对被积函数的连续性要求太强,以致于著名的 Dirichlet 函数这样一种非常简单的函数都不可积;另一方面是应用起来有很大的局限性,这种局限性突出表现在可积函数项级数的逐项积分,以及可积函数列的积分与极限的可交换性方面,一般要求函数列或函数项级数要具有一致收敛性,而这一要求在实际问题中常常得不到满足,或虽然满足要想验证又非常的繁复,因此,无论在理论方面还是在实际应用方面改进 Riemann Riemann 积分的改进可从两方面着手,一方面是对积分范围划分的改进。在 Riemann 积分中,对积分范围的划分一般是采用通常意义下的“有面积”或“有体积”划分,即把积分范围划分成在通常意义下“有面积或体积”的小块. 这种划分的方法无法控制在每个小块上函数值的变化幅度以致于 Dirichlet “有面积或体积”划分的含义进行扩充,即对通常意义下的“有面积或体积”的集合进行扩充,使之适合于更广的一类集合,由此便产生了本章要介绍的集合的测度; 积分中的被积函数对连续的要求很苛刻,以致于函数的连续性稍微不好,,使之适合于更广的一类函数,由此产生了第三章要介绍的可测函数. 本章主要介绍集合的 Lebesgue 测度,它是通常意义下“面积或体积”概念的一种推广(即能保持通常意义下“体(面)积”的特性:①非负性;②当集合为区间时,其测度即为区间的体积; ③完全可加性即当{ iE } 为一列互不相交的 64 有测度的集合时, ???1i iE 的测度恰好为每个集的测度之和) .§1 外测度一、外测度的定义记 nR 中的开区间?? nibxaxxxxI iiin,,2,1,),,,( 21???????其中 iiba?为有限数. 若上述记号中等号可能出现,则称 I 为区间,显然 1RR n?时, I 即为 1R ???? ni iiabI 1)( 为区间 I 的体积. 定义 1设E? nR ,?? iI 是 nR 中覆盖 E 的任一列开区间,即???? 1i iIE , 记???? 1i iI?(?可以取+?) ,显然所有这样的?构成一个有下界的数集,则它的下确界称为 E 的Lebesgue 外测度,记为., inf ** 1 1???????? i ii iIEIEmEm即注定义中覆盖 E 的开区间列,可以只有有限个开区间,也可以有可数个开区间,显然,对任意 nRE?,Em* 均存在,且可以取+?. 二、外测度的基本性质定理外测度具有如下性质: (1)对任意 nRE?都有0*0*???mEm且(非负性) , (2)设 nRAB??,则 AmBm**?(单调性) , (3)设 niRA?,则?????? 11*)(* i ii iAmAm?(次可加性) , (4)设 nRBA?, ,若 0),(?BA?,则BmAmBAm**)(*???(隔离性) . 65 证明(1)显然成立。下面只证( 2)(3)(4) (2)因为对任意覆盖 A的开区间列?????? 1, i iiIAI即,由于 AB?所以???? 1i iIB ,从而???? 1* i iIBm ,????????? 1 1,* inf * i ii iIAAmIBm . (3) 由外测度的定义知,对任意给定的正数?,存在覆盖 iA 的开区间列??)(imI 使?,2,1,2 * 1 )(??????iAmI i im im?显然?????????????????????????????? 1111 )(11 )(111 )(*)2 *()()( i ii i iim im im im i iim imAmAmIIAI??且???所以?????????????? 11 )(11*)(* i im imii iAmIAm??. (4)仅在 1R 0??,存在开区间列?? nI ,使????? 1n nIBA 且??????)(* 1BAmI nn?, 因为 0),(??dBA?,若 nnIdI则,?保留;若,dI n?则用分点将 nI 分成有限个小的开区间 kJJJ?,, 21,使)2,1(kidJ i???, 并且各分点再用