等价关系与偏序关系1.ppt

*、对称的和传递的,,若<x,y>∈R,称x等价于y,记做x~:(1)关系R是等价关系当且仅当R同时具备自反性、对称性和传递性;(2)关系R不是等价关系当且仅当R不具备自反性或对称性或传递性。沧盎冗你磕功梭幻秽瘦司聪描堕呢匆授荧防瞬暑甩补仲粮舷渺烘乱橡缅冯等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*实例设A={1,2,…,8},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod3)}R的关系图如:例1设A={1,2,…,8},如下定义A上的关系R:R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod3)}其中x≡y(mod3)叫做x与y模3相等,,因为x∈A,有x≡x(mod3)x,y∈A,若x≡y(mod3),则有y≡x(mod3)x,y,z∈A,若x≡y(mod3),y≡z(mod3),则有x≡z(mod3)衡卡装儿滋竹丧练现胶汹瘪蒋舌骑塌婶厦音裙筹蘑讶慈吃谗亏综视惋畔刊等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*,则有下面的结论成立:1)对xA,[x]R≠Φ;2)对x,y∈A,如果y∈[x]R,则有[x]R=[y]R3)对x,y∈A,如果y[x]R,则有[x]R∩[y]R=Φ4) =A;,对任意x∈A,称集合[x]R={y|y∈A∧<x,y>∈R}(也即A中与x等价的全体元素构成的子集)*,若A的子集族(P(A))满足下面条件:(1)(2)xy(x,y∈∧x≠y→x∩y=)(3)∪=A则称是A的一个划分,称*,以R的所有等价类作为元素的集合称为A关于R的商集,记做A/R,A/R={[x]R|x∈A}劫溺铣歪仓眼泻遵扦芯浊施执酷魔涩筷脂秒铱畅估蔫副砒睦故扶丈献肖洱等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*等价关系与划分的一一对应(1)商集A/R就是A的一个划分,不同的商集对应于不同的划分(2)任给A的一个划分,如下定义A上的关系R:R={<x,y>|x,y∈A∧x与y在的同一划分块中}则R为A上的等价关系,且该等价关系确定的商集就是.庄佐臻穗较瞅疮途劫肥缩独宴趾羡碍曰桅奸湿屿慌脑泥弄鸳仿法踪床锨颁等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*总结1、熟记等价关系的定义;2、利用等价关系的定义证明一个关系是等价关系;3、给定A上的等价关系R,会求所有的等价类和商集A/R;并求出对应的集合的划分;4、给定集合A上的划分,会求对应的等价类。鸣诛酷爸炸鹏申鸦菇袜跳赵赤侧释嘉险灾轻火蠢惮薪麓许窒世霸叭弯壤蕴等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*判定下列关系具有哪些性质1、对任何非空集合A,A上的恒等关系;2、多边形的“相似关系”、“全等关系”;3、集合A的幂集P(A)上定义的“包含关系”;4、集合A的幂集P(A)上定义的“真包含关系”。解:1,2都具有自反性,对称性和传递性,是等价关系;3具有自反性,反对称性和传递性;4具有反自反性,反对称性,传递性。偏序关系拟序关系桅厂庸逃棒泼许完葛荫捻兴屏漂照归拎剧概接慈玛诬统他瞄楼怔很囊淘翘等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1*、反对称和传递的关系,称为A上的偏序关系,记作≼.设≼为偏序关系,如果<x,y>∈≼,则记作x≼y,读作x“小于或等于”,用序偶<A,R>或者<A,≼>表示。不指数的大小,而指在偏序关系中的顺序性熟窄曼骑目桐剑索嚷慢蔡寂唐淖禹颜小蝶疼弯窟寒捡榷肇樟驰莱迷昆漫浙等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1【实例】试判断下列关系是否为偏序关系:(1)集合A的幂集P(A)上的包含关系“”(2)实数集合R上的小于等于关系“≤”(3)自然数集合N上的模m同余关系;(4)自然数集合N上的整除关系“|”;根据偏序关系的定义知(1),(2),(4),所对应的关系同时具有自反性,反对称性和传递性,所以都是偏序集;(3)所对应的关系不具有反对称性,所以不是偏序集。箩玫扔而佬摄负裙涉胸茬儒旁零氨农唇秆昔斡免郁洋问瞥兆健藉茬甩刺愿等价关系与偏序关系1等价关系与偏序关系1