第二章分块矩阵.doc

分块矩阵1 分块矩阵及其运算对矩阵进行"分块"是处理较高阶矩阵的一种常用技巧,(,),,.这里既是以数为元素的数字矩阵,:在分块矩阵中,每一行小矩阵有相同的行数,每一列小矩阵有相同的列数,在对一个矩阵进行分块时,“以矩阵为元素的矩阵”.比如:其中,,换句话说,,只不过是数字矩阵运算的一种新的运算方法,,,其中是矩阵(;),,,,,其中是矩阵,是矩阵(;;),,,,则,其中(;).数乘设,“只要运算有意义,分块矩阵的运算可以按照数字矩阵的运算规则进行运算”.这里的“运算有意义”是指运算对矩阵行数、列数的相应要求,它包含三层意思:第一分块之前的两数字矩阵运算要有意义(相加时两矩阵的行、列数分别相同;相乘时前一矩阵的列数要等于后一矩阵的行数);第二分块以后的两个分块矩阵的运算要有意义(相加时两分块矩阵的行、列数分别相同;相乘时前一分块矩阵的列数要等于后一分块矩阵的行数);第三各对子矩阵的运算要有意义(各对相加的子矩阵的行、列数分别相同;各对相乘的子矩阵中前一子矩阵的列数要等于后一子矩阵的行数).要保证运算有意义,只需把握住分块环节即可,具体地说:在用分块方法作矩阵加法时,两数字矩阵行和列的分法应当分别一致;在用分块方法作矩阵乘法时,:在分块矩阵的乘法中,各子矩阵的先后顺序不能随意颠倒,、列的子块(也称为的子矩阵,叫该子矩阵的母矩阵)记为,:由元素构成的子块为;由的第行元素构成的子块为(简记为);由的第列元素构成的子块为(简记为);由的第行元素构成的子块为(简记为);由的第列元素构成的子块为(简记为).由矩阵的乘法可知,的元等于的第行与第列元素的对应乘积之和,即: .由此易得,即:的位于行、列的子块等于的第行元素构成的子块与第列元素构成的子块的乘积. 特别地,即:的第行元素构成的子块等于的第行元素构成的子块与的乘积.,即:的第列元素构成的子块等于与的第列元素构成的子块的乘积. , , .下边证明分块矩阵乘法的计算规则: 其中(;),,,.,则必在的某个子块之中,设是的元,则,,这里,.:.但是,的第行恰为的第行,所处的列恰为的第列;的第列恰为的第列,所处的行恰为的第行.(参看下图),所以,于是,恰为的元,,则对分块对角阵,其中是方阵,.有:1、;2、可逆当且仅当均可逆,且;3、的秩等于的秩之和.(此结论当不是方阵时亦然)利用矩阵分块可以将矩阵乘积中的一些关系反映得更清楚,比如:,的每个元素为一块,的每一行为一块,可得,由此可见,,的每一列为一块,的每个元素为一块,可得由此可见,,对作如下分块,整个作为一块,的每个列为一块,可得即有().由此可见,,的每一行作为一块,整个为一块,可得即有,亦即().由此可见, 是矩阵,证明:存在矩阵使秩;:只证明(1),(2)的证法类似.(1):,,可知有非零解,所以系数矩阵的秩<未知量的个数,即:秩.:因为秩,, 分块矩阵的初等变换类似于数字矩阵,分块矩阵也有其初等变换和初等矩阵,(列)变换:对换分块矩阵中两行(列)的位置;用一个非退化的矩阵左(右)乘分块矩阵某一行(列)中的所有元素;用一个非零矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)后加于另一行(列).注:①行变换左乘,列变换右乘.②根据所作变换中矩阵运算的需要,对用来左乘或右乘的矩阵应有行、:要将分块矩阵的第行左乘非零矩阵后加于第行,为了保证乘法可行,的列数就必须等于的第行子矩阵的行数;而为了保证之后的加法可行,的行数就必须等于的第行子矩阵的行数,