将矩阵化为约当标准型.doc

将矩阵化为约当标准型————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 补充:===矩阵A的特征多项式有两重根,凡是在中的公因子则必然和可以相消。经过线性变换后,系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式, 特别指出,如果维矩阵A由下式给出并且其特征值互异,作非奇异线性变换,则化A为对角线标准型矩阵其中,P为范德蒙德(Vandermond)矩阵。即补充:设约当块数为q和q个(约当块的阶数)。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型令即,是阶矩阵。则根据分块矩阵的乘法规则,有上式实际上是q个等式,即 将阶矩阵写成列向量形式,于是有即也可写成顺序解以上方程组就可以确定的个列向量。这些列向量中只有第一个是对应于的特征向量,而其余的个向量称之为对应特征值的广义特征向量,可由上式递推解出。设矩阵A的重特征值为,代入式中,即由可求出A的对应于的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数,就是该特征值对应的约当块数,或表示为降秩数就是对应的线性无关特征向量个数,或者是对应的约当块块数。换句话说,矩阵A的特征值分组中,有。将式中计算的式子,两端同时乘以,该方程线性无关的解的个数是,但这个数目中包括的个数,即。所以,解出线性无关的列向量的个数,也就是对应的大于或等于2阶约当块的块数。例将已知矩阵A化为约当型。解:先求A的特征多项式,因为A矩阵是对角分块矩阵,所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积,即将特征值代入式,求约当型中的约当块数。=6-3=3由此,由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。然后,将代入求