将矩阵化为约当标准型(精).doc

补充: ?????? 1 111 1~~ ??????????PA sIPPAP sIA sI =???? 1~ det ~ ???PA sI A sIadj P = 1 2 2)2()1( )1( )2 )(1( )2 )(1( ??????????????????Pss s ss ssP = 1)2 )(1( )1( 2 2 ????????????????Pss s s sP 矩阵 A 的特征多项式)2()1() det( 2???????AI 有两重根 21 321??????和单特征值,凡是在?? A sIadj ?中的公因子则必然和?? A sI? det 可以相消。经过线性变换后,系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式, 特别指出,如果 nn?维矩阵 A 由下式给出??????????????????????12101000 100 10 nA?????????并且其特征值 n????,, 21 互异, 作非奇异线性变换 xPx ~?, 则化 A 为对角线标准型矩阵??????????????n AP P????????? 00 0 00 00 2 11 其中, P 为范德蒙德( Vandermond )矩阵。即?????????????????113 12 11 3211111 nn nnn nP?????????????补充: 设约当块数为 q和 q个 im (约当块的阶数)。A 矩阵惟一决定的约当型矩阵式??????????????? qJ J JJ? 2 1 设变换矩阵 p与 J 具有同样阶数组的分块矩阵型令][ 21qpppP??即, ip 是imn?阶矩阵。则 PJ AP ???????????????? q qqJ J JppppppA??? 2 12121][][ 根据分块矩阵的乘法规则,有][][ 221121qq qJpJpJp Ap Ap Ap???上式实际上是 q 个等式,即 qiJp Ap iii,,2,1,???将 imn?阶矩阵 ip 写成列向量形式,于是有][ 21 imq iiipppP??????????????? i i i imi ii imi iippppppA???1 1 1][][ 2121???即????????????? im i im im iiii iiipp Ap pp Ap p Ap??? 1 212 11?也可写成????????????????1 12 1)( )( 0)( imi imi i iii iippAI ppAI pAI????顺序解以上方程组就可以确定 ip 的 im 个列向量。这些列向量中只有第一个 1ip 是对应于 i?的特征向量,而其余的 1? im 个向量,,2, imi ipp?称之为对应特征值 i?的广义特征向量,可由上式递推解出。设矩阵 A 的重特征值为 1?,代入式 0)( 1?? iipAI?中,即由 0)( 11 1??pAI?可求出 A 的对应于 1?的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数,就是该特征值对应的约当块数,或表示为?? AI rank n??? 1 11??降秩数 11?就是对应 1?的线性无关特征向量个数,或者是对应 1?的约当块块数。换句话说, 矩阵 A 的特征值分组 q????,, 21 中,有 11 21a?