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方向导数、梯度和泰勒公式.ppt

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第六节
方向导数、梯度和泰勒公式
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实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．
一、问题的提出
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讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．
二、方向导数的定义
（如图）
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当沿着趋于时，
是否存在？
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记为
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证明
由于函数可微，则增量可表示为
两边同除以
得到
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故有方向导数
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解
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解
由方向导数的计算公式知
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故
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