随机过程作业题及参考答案(第一章).docx

第一章 随机过程基本概念
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1 •设随机过程X（/） = Xcosq” 英中s是正常数，而X是标准正态 变量。试求X（/）的一维概率分布。
解：
当coscoJ = 0, coJ = k7t + —,即t = — k + - 兀（k ）时,
si 2）
X(/) = 0> 则P{X(r) = 0} = l.
2 当cosq/HO, 0()/工《龙 +兰，即心丄 k + — \tt (kez)时,
2 3q 2 丿
•••X 〜2(0,1), ・・・E(X)= O，D(X)= 1.
(/)] = E[X cos 列r] = E(X )cos 如=0.
£)[x (/)] = £)[X cosq/] = £)(X)cos2 q/ =cos2 co^ ・
・•. X (/)〜7V(0, cos2 q)f).
则/（上
，泄义随机过程为
X(,) =
cos nt,岀现正面
2t ,出现反面
假定''出现正而”和“出现反面”的概率各为试确定x（/）的一维分布函数fL-：1
1
和F（x；l）,以及二维分布函数F引x2；-, 1
< 2
解:
X
0, x<0
Pk
X(l)
-1
2
Pk
1
1
2
2
F
x；-
X
<x
< 2 J
1,
0 < x < 1
x>l
0, x<-l
/.F(x：l) = P{X(l)<x}= 1,
-l<x<2
L a>2
随机矢量x[- X(l)的可能取值为(0,-1), (1, 2). k \ 2 / i
1 I
屮沪,心2石.
* X讣 “,X(l)<x2 >
0, %]<0或%2<-1
0< x} < 1 且x? > -1 或X] > 0且-1 < x2 < 2 2
L xx > 1 且 “2 n 2 3 •设随机过程｛X(r), -oo</<4<o｝总共有三条样本曲线
X (/,①)=I, X (/, (O-y) = sin 19 X (/，CDy) = cost
且P(®) = P(e2)= P(©) = ］。试求数学期望EX(t)和相关函数他仏山)。 解：
EX(t) = \
1 1
x- + sinZx-
3 3
+cosrxl = l(l
3 3、
+ sin/ + cos/)・
心(g)"[x(Gx(G
= -xlxl + —xsintx sin匚 +-xcos/. cosL
3 ■ 3
=-(1+sinr, sint2 +cos/, cos/?)
= |[l+cos(r,-r2)].
(/)=*“，(r>0),英中X是具有分布密度门x)的随机变量。试求
X（/）的一维分布密度。
解：
X（/）的一维分布函数为：
F（x； /） = P{X ⑴ <x} = P[e~Xl <x} = P{-Xt <lnx} = pjx>-hnx ‘
•••X具有分布密度/(x).
・・・X(/)的一维分布密度为:
/（x；r） = [F（x；f）p-
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，假立随机变量X具有在区间(O,T)中的均匀分布。试求随