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随机过程作业题及参考答案(第一章).doc

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第一章随机过程基本概念
P39
1. 设随机过程,,其中是正常数,而是标准正态变量。试求的一维概率分布。
解:
当,,即()时,
,则.
当,,即()时,
,,.
.
.
.
则.
2. 利用投掷一枚硬币的试验,定义随机过程为
假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为。试确定的一维分布函数和,以及二维分布函数。
解:
随机矢量的可能取值为,.
而,.
3. 设随机过程总共有三条样本曲线
,,
且。试求数学期望和相关函数。
解:
.
.
4. 设随机过程,(),其中是具有分布密度的随机变量。试求的一维分布密度。
解:
的一维分布函数为:
.
具有分布密度,
的一维分布密度为:
.
P40
5. 在题4中,假定随机变量具有在区间中的均匀分布。试求随机过程的数学期望和自相关函数。
解:由题意得,随机变量的密度函数为
由定义,
. ()
.
9. 给定随机过程。对于任意一个数,定义另一个随机过程
试证:的数学期望和相关函数分别为随机过程的一维分布和二维分布函数(两个自变量都取)。
证明:设和分别为的一维和二维概率函数,则
.
.
若考虑到对任意的,是离散型随机变量,则有
.
.
因此,的数学期望和相关函数分别为随机过程的一维分布和二维分布函数。
P41
14. 设随机过程,,而随机矢量的协方差阵为
,试求的协方差函数。
解:依定义,利用数学期望的性质可得
.
15. 设随机过程,,其中,,是相互独立的
随机变量,各自的数学期望为零,方差为1。试求的协方差函数。
解:
………………………①
,,的数学期望均为0,即,,,将其代入①式,得:
…………②
,
.
同理,,.
,,相互独立,
.
同理,,.
将上述结果代入②式,得
.

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