空间直线和平面总结 知识结构图+例题.doc

空间直线和平面
［知识串讲］
空间直线和平面：
（一）知识结构
（二）平行与垂直关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
3. 平行与垂直关系的转化：
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
5. 唯一性结论：
（三）空间中的角与距离
1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；
（2）证明其符合定义；
（3）指出所求作的角；
（4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。
【典型例题】
例. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）
分析：如图，取AB中点E，CC1中点F 连结B1E、B1F、EF
则B1E//AM，B1F//NC ∴∠EB1F为AM与所成的角
又棱长为1
∴选D
例3.
其中正确的两个命题是（）
A. ①与② B. ③与④ C. ②与④ D. ①与③
分析：
∴②错
∴④错
∴①③正确，选D
例4. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。
证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO
∵底面ABCD是正方形
∴点O是AC中点
又E为PC中点
∴EO//PA
∴PA//面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD ∴BC⊥PD
∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE
又E为等直角三角形中点
∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB ∴PB⊥面DEF
例5. 正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。
证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C
注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6. 下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。
分析：
③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直
∴l⊥面MNP
例7.
∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。
分析：
证明：
又∠ACB=90°，即AC⊥BC
∴D为AC中点
例8. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求：
（1）C到A’D的距离；
（2）D到平面A’BC的距离；
（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。
解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角
又A’E⊥ED，CE⊥ED ∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED
作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D ∴CF即为C点到直线A’D的距离
在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED
∴DE//面A’BC
∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离
过E作EM⊥A’C于M ∵ED⊥面A’EC 又BC//ED
∴BC⊥面A’EC ∴BC⊥EM ∴EM⊥面A’BC
或者用体积法：
例9.
（1）证明：
（2）解：
又取BC中点N，连结NF
【模拟试题】
一. 选择题
1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）
A. 成异面直线 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交
2. 已知直线a，b，平面，有下列四个命题
①；②；
③；④
其中正确的命题有（）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. 以上都不对