高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.3.ppt

§2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§1 定义与基本性质
§6 对称矩阵的标准形
§8酉空间介绍
§7 向量到子空间的
　 距离─最小二乘法
小结与****题
第九章 欧氏空间
§5 子空间
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一、欧氏空间的同构
§ 同构
二、同构的基本性质
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一、欧氏空间的同构
定义：
实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的，
如果由V到V'有一个1－1对应　，适合
这样的映射　称为欧氏空间V到V'的同构映射.
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1、若　是欧氏空间V到V'的同构映射，则　也是
线性空间V到V'同构映射.
2、如果　是有限维欧氏空间V到V'的同构映射，
则
3、任一　维欧氏空间V必与　 同构.
二、同构的基本性质
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标准正交基，
证：
设V为　维欧氏空间，　　　　　为V的一组
在这组基下，V中每个向量　可表成
作对应
易证　是V到　 的 　对应.
且　满足同构定义中条件1）、2）、3），
故　为由V到 　的同构映射，从而V与　 同构.
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①反身性；②对称性；③传递性.
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：
① 单位变换　是欧氏空间V到自身的同构映射.
② 若欧氏空间V到V'的同构映射是　，则　　是
其次，对　　　　　　有
事实上，　首先是线性空间的同构映射.
欧氏空间V'到V的同构映射.
为欧氏空间V'到V的同构映射.
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③ 若 　分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射，
则　 是欧氏空间V到V"的同构映射.
事实上，首先，　 是线性空间V到V"的同构映射.
其次，对　　　　　　有
为欧氏空间V到V"的同构映射.
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5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
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