不等式分类型的解法全.docx

不等式
题型一、一元二次不等式的解法：
1、解下列不等式
/、 2 /、x2 -2x -1
⑴-1 <x +2x—1E2; (2) >0
x 一 1
⑶ x2 -2x -15>0
题型二、含参不等式的解法
2、解关于x的不等式
(1) x -mx -12m > 0 ;
题型三、利用根与系数的关系解不等式
3、(1)若x2 -ax-b <0的解集为｛x/2 <x <3"求不等式bx2 —ax—1 >0的解
集。
(2)若不等式ax2 +bx +c A0的解集为L/ 2 < x < 3)，求不等式cx2 + bx + a < 0
的解集。
题型四、不等式包成立问题
4、(1)已知不等式2E3x2 px 616对任意的xWR^^b^,求实数p的值;
x -x 1
(2)若xw R,ax2 +4x+42-2x2+1恒成立，求a的取值范围。
5、(1)已知不等式2x -1 > m(x2 -1),若对于mw [-2,2],不等式包成立，求实
数x的求职范围
(2)函数f(x)=(2-a2)x+a在区间[0,1]上恒为正，求实数a的取值范围
题型五：作二元一次不等式表示平面区域
6、回出下列不等式表布的平面区域
(1) 2x—3y+1>0; (2) 2x + y+440;
2y-x>0;
y <1 ;
x <-3 °
题型六：平面区域内的点与不等式
7、若直线ax+y+2=0与连接点A（-2,3）和B（3,2）的线段有公共点，求 a的取值范围。
变式：给出下列命题：（1）原点和点（3,0在直线2x + y —6 = 0的两侧；（2）原点和点（—3,1）
在直线2x+y—6=0的同侧；（3）点（3,2）和（2,3）在直线2x+y—3 = 0的两侧；（4）点 （—2,3）和点（—3,2）在直线2x + y—3 = 0的同侧。其中正确的有 。
题型七：作出二次不等式组所表示的平面区域
8、用平面区域表示下列不等式组：
x <3
x至y
,3x+4y-12<0
2y之x
3x +2y 之6
3y ：二 x 9
题型八：绝对值、二元二次不等式表示的平面区域
9、画出下列不等式表示的平面区域
(1)X—2 + y —2 E2
(2) y < x < 2y
(3) (x -2y +2)(x + y —3) <0
题型九：平面区域面积问题
x - y 6-0
10、求不等式组<x+y之0 表示的平面区域的面积。
x <3
x y -1 _ 0
变式1 ：若不等式组^x -1 <0 （ a为常数）所表示的平面区域的面积为 2,则a =
ax - y 1 - 0
, 4 八，一，— 一
y = kx +一分为面积相等的两
3
x ,0
变式2:若不等式组彳x + 3 y之4所表示的平面区域被直线
3x y 三 4
部分，则k的值为
题型十：求目标函数的最值
11、设z = 2x+y ,其中x, y满足条件
x -4y 三 -3
«3x+5y E 25 ,求z的最大值和最小值。
变式 1 ：已知 f(x) =ax2 -c,且—4 4 f (1) < -1,-1 < f (2) <5,求 f (3)的取值范围。
变式2 :实系数方程x2 + ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1 ,另一个跟大于1且小于2,
x -3y 4 . 0
2 2 .
变式3：已知约束条件（x+2y -1之0 ,且目标函数z = a x + （a-2 —a ）y取得最小值
3x y -8 < 0
的最优解唯一，为（2,2）,则a的取值范围是 。
基本不等式
题型一、证明不等式
一， 一 11
1、已知a > 0,b >0,求证：（a+b）（—+ —）之4 （直接证明） a b
a2 b2
2、（1）已知a A0,b A0,求证：L+b-之a+b （添加项证明） b a
（2）已知a >1,求证:
一， 11
3、（ 1）已知aA0,b〉0,a+b = 1,求证：一 +-之4 （1的利用证明或市条件的证明）
a b
(2) a >0,b A0,且2a+8b—ab =0,求证：a+b 之 18;
题型二、利用不等式求函数的最值
4、求下列函数的最值（一元函数）
4 一
（1）已知x > 0,求y =2 - x--的取大值;
x
一， . 1
(2)已知*>2,求丫=* + 的取小值;
x —2
1 . 1
(3)已知0 <x <-，求y = — x(1 -2x)的取大值;
2 2
5、求下列函数的最值(二元函数)
设 x 0, y 0
(1)若 2x