最新版拟常曲率流形中具有常平均曲率的子流形.pdf

第37 卷第4 期西南大学学报(自然科学版) 2015 年4 月 Vol??37No??4 JournalofSouthwestUniversity (NaturalScienceEdition ) Ap r??2015 DOI :10??13718 /j ??cnki??xdzk??2015??04??006 拟常曲率流形中具有常平均曲率的子流形①赵盼盼 1, 姚纯青 1, 王新敬 2 1??西南大学数学与统计学院,重庆400715 ;2??西北工业大学理学院,西安710072 摘要:讨论了局部对称拟常曲率黎曼流形中具有常平均曲率向量的紧致无边子流形,给出了关于其第二基本形式模长平方S 的积分不等式. 关键词:拟常曲率黎曼流形;常平均曲率;积分不等式中图分类号:O186??5 文献标志码:A 文章编号:16739868 (2015 )04003005 关于N n+p的子流形M n的第二基本形式模长的平方S 的值域估计,是一门重要的研究课题. 文献[1- 3 ] 在常曲率空间中对子流形做了很多工作. 后来文献[4 ]开始研究拟常曲率流形中的子流形,得到了一些积分不等式和Pinching 定理. 本文讨论了拟常曲率黎曼流形中具有常平均曲率的紧致无边子流形,给出了此空间中的积分不等式,可以看作是常曲率空间中极小子流形的推广. 设(N n+p,g )是n+p 维的黎曼流形,其黎曼曲率张量满足 K ABCD= a (g ACg BD-g ADg BC)+ b (g ACλ Bλ D+g BDλ Aλ C-g ADλ Bλ C-g BCλ Aλ D) 其中a ,b∈ C ∞(N n+p),λ为单位向量场,则称N n+p是拟常曲率黎曼流形. 本文主要得到了: 定理1 设M n是局部对称拟常曲率流形N n+p的具有常平均曲率的紧致无边子流形,则∫ M 1+ 12 sg n (p - 1 )+ n 2n- 1 ?è ? ?? ÷S 2+ a- H 2+ b-| b| 2 - nH 2 2n- 1 ?è ? ?? ÷n 2H 2+ é? êê (b+ 3| b| )nHS- n+ 1 2 b- 3n+ 1 2 | b|+ na ?è ? ?? ÷S ù? úú dv M≥ 0 定理2 设M n是局部对称的拟常曲率流形N n+p的紧致无边的极小子流形,则∫ M S1+ 12 sg n (p - 1 ) ?è ? ?? ÷S- n+ 1 2 b+ 3n+ 1 2 | b|- na é? êê ù? úú dv M≥ 0 1 预备知识我们约定各类指标的取值范围是:A ,B ,C ,??= 1 ,2 ,??,n+p i ,j ,k ,??= 1 ,??,n α,β,γ,??= n+ 1 ,??,n+p 设N n+p是n+p 维单连通完备的黎曼流形,M n是N n+p中的n 维紧致子流形. 在N n+p上选取局部标准正交标架场e A,使得它们限制在M n上时e i与M n相切. 于是,在此标架下,若N n+p是拟常曲率空间,则其黎曼曲率张量为①收稿日期:20140704 基金项目:国家自然科学基金(11471188 ). 作者简介:赵盼盼(1986 ),女,河南驻马店人,硕士研究生,主要从事微分几何的研究. 通信作者:姚纯青,男,副教授. K ABCD= a (δ ACδ BD