黄昆固体物理习题解答.docx

黄昆固体物理习题解答.docx，使用德拜模型求晶体的零点振动能。
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证明:根据量了力学零点能是谐振了所固有的，与温度无关，故T=0K时振动能与就是各振动
模零点能之和。Eq
3V
2勿气③
口2代入积分有
3V Q g
乌二液苛％%秋％'由于膈q魁得与=必思 一股晶体德拜温度为~102K,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能 相比拟.
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,根据k = + 一状态简并微扰结果，求出与E及打+相应的波函数“及"+?,并说明它们 a
，并比较两个电子云分布|训2说明能隙的来源(假设K=K*)。
(解〉令k = +— , k'=,简并微扰波函数为材=&/?(x) + 3”?(x) a a
[e°(^)-e]a+v；b = o
J VnA + [E°(k')-E^B = Q 取E = E+
带入上式,其中E+=E\k) + \Vn\
V(x)<0，K < 0，从上式得到B= -A,于是
取E = E , E_=E\k)-\Vn\ |V„|A = -V„B,得至\\A = B
山教材可知，中+及均为驻波. 在驻波状态下，电子的平均速度v(k)
Y\TT 9 IT 9/7
驻波因为电子波矢k=—时，电子波的波长竺■,恰好满足布拉格发射条件，这 a k n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波山于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
例2图白+及.，一的电子云分布
,马德隆常数的计算
<解> 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离 子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号)，用r表 示相邻离子间的距离，于是有
_+-——+...]
r j r{j r 2r 3r 4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离*的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面,
« = 2[1-- + --- + ...]
2 3 42 3 4
故对一边求和后要乘2,马德隆常数为
n ,、 、 XXX
•.•<(l + x) = x-- + y-T +
当 X=1 时，有 1 1 ... = £“2 a = 22n 2
2 3 4
,电子在周期场中的势能.
^b2 -(x-na)2~^,当 rut-b<x<na + b
Y
V(x)= 0 , 当(n-l)a+b< x<na-b
其中d=4b,，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.
<解>①题设势能曲线如下图所示.
(2)势能的平均值：由图可见，V(x)是个以a为周期的周期函数，所以
V(.r) -- ［ V(.r)--「V(x)dx = - L 孔 Q」b a J-b
题设a = 4A,故积分上限应为a-b = 3b，但由于在［b,3b］区间内V(x) = O,故只需在
［~b,b］，兀=0,于是
"g 号睥―E =
b~x
b _J_„3
Mg
b
-b
= -ma)b-.
6
(3),势能在［-2b,2b］区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
5s竽皿=京勺⑴cos芸馨=：
mn 7
xdx
lb
2
第一个禁带宽度上=2|%|,以初=1代入上式，上=号［(/-了 2)cos||火
u 2
利用积分公式 p2 cos mudu = — [(mu sin mw + 2cosmw)l sin mu 得
J m L J m
Egi =匹*尸第二个禁带宽度％ =2怕|,以初=2代入上式，代入上式
广 ma)2移2、 兀x ［ 八八「 2秫刃之
E = I (Z?- - %")cos—— dx再次利用积分公式有Eg =—— b-
b上 b 秘 兀'
,考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10
a 7T
量相同，=-处的a)(k).
2 a
拟如H2这样的双原子分子晶体。
12.
M= c(K-i -us) + i°c(K _MJ -、
A
1 2t 7
= -Vj) + C(mj+i-Vs),
isKa -ia)t t t t t isKa -ia)t
将us =ue e ,Vs = Ve e .代入上式有
-Mco~u = C (10 + e~ika) V -1 ICw,]
-Ma)-V =C(e>ku +\Q)]u-UCV, J
是U, V的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
=0,解出