黄昆 固体物理习题解答.docx

黄昆 固体物理习题解答.docx设晶体中每个振子的零点振动能为丄方①，使用德拜模型求晶体的零点振动能。
2
证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=OK时振动能就是各振动
1 OT7
模零点能之和。Eo =Eo(0)g 将Eq ((z＞) = — ha＞和g (0) = ? 2—3 ”代入积分有
3V 0 9
E0 = ]6”2亍3 '由于 fi%= kBOD^E0 = -NkBeD
一股晶体德拜温度为~102^,可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能
相比拟.
7T
根据k=+-状态简并微扰结果，求出与E及E+相应的波函数孙及鸭+?,并说明它们
a
的特性•说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布”『说明能隙的来源(假设匕=町)。
＜解＞令k=+~, k' = -~，简并微扰波函数为^ = A^(x) + B^(x) a a
厂
[E\k)-E~\A + V*B = O
-VnA + [E°(k')-E]B = O 取E = E+
带入上式，其中E+=E\k) + \Vn\
V(x)＜0,匕＜ 0,从上式得到B= -A,于是
取E = E , E_=E°伙）一I匕I \Vn\A = -VnB,得至ljA = B
由教材可知，屮+及屮一均为驻波. 在驻波状态下，电子的平均速度卜伙)
YITT 9 IT 9/7
驻波因为电子波矢k=—时，电子波的波长2 = — = —,恰好满足布拉格发射条件，这 a k n
吋电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入
能量。
例2图 4+
马德隆常数的计算
CL
V解〉设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离 子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号)，用r表 示相邻离子间的距离，于是有
'型=2[丄-丄+ --- +...]
rV] r 2r 3r 4r
前边的因子2是因为存在着两个相等距离£的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面, 故对一边求和后要乘2,马德隆常数为
« = 2[1-- + --- + ...]
2
•••/”（1 + 兀）：
3 4 2 3 4
XXX
=X 1 F ...
X 3 4
当 X=1 时，有 1 1 ... = 0”2 cc = 20” 2
2 3 4
电子在周期场中的势能.
[b? —(兀 一 na)2 ], 当血-b<x<na + b
Y
V(x)= 0 , (n-1)a+b<x<na-b
其中d=4b, ©，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度.
v解>(1)题设势能曲线如下图所示.
vn. a
-a a “
(2)势能的平均值：由图可见，y(x)是个以a为周期的周期函数，所以
y（x）= +jy（x）= l（y（x）dx = l J v（x）dx
题设a = 4b,故积分上限应为a-b = 3b,但由于在血3对区间内V（x） = 0 ,故只需在 [~b,b]，“ =0,于是
（3）,势能在卜2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
= — ma)b1 o
6
mn ,
xdx
2b
2
第-个禁带宽度唁2|那以心代入上式心=等W」）c°s訣
利用积分公式\u cosmudu
Eg] = ^^b2第二个禁带宽度化=2|%|,以加=2代入上式，代入上式
Eg,=警（（戸―/）cos年必再次利用积分公式有=^^b2
考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为c和10 H 71
相同，+i和k=-处的①伙）.
2 a
如日2这样的双原子分子晶体。
M ~~r = c (K i - us)+(K _ us) > i
m ■ toc 仏 - «)+c ("hi - vj,
10 + e“")y—11C“, e'^+lO”—11CV,
—M 0)^ u = C (10 + e
-Mcd2V =C(eika +
是U, V的线性齐次方程组，存在非零解的条件为
Mfy2-llC,C(10 + e-,Au)
C(e'K"+10),Miy2—11C
=0,解出
M 吻4 - IIMCcd1 + 20C2 (1- conKa)二 0
.2 _ C「［ i
..CD. — 11
-M L
当K=0时，
± J121-20(1-co“Ka).
当K=7r/ a时